Cum integrez acest lucru?

Răspuns:

# I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 3 ^ 2) + C #

Explicaţie:

Vrem să rezolvăm

# I = INT2 ^ xcos (3x) dx = inte ^ (ln (2) x) cos (3x) dx #

Să încercăm o problemă mai generală

# I_1 = inte ^ (ax) cos (BX) dx #

Unde căutăm soluția

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C #

Trucul este de a utiliza integrarea prin piese de două ori

# Intudv = uv-intvdu #

Lăsa # U = e ^ (ax) # și # Dv = cos (BX) dx #

Atunci # Du = ae ^ (ax) dx # și # V = 1 / bsin (BX) #

# I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (BX) -a / binte ^ (ax) sin (BX) dx #

Aplicați integrarea prin părți la integralele rămase

# I_2 = a / binte ^ (ax) sin (BX) dx #

Lăsa # U = e ^ (ax) # și # = Sin dv (BX) dx #

Atunci # Du = ae ^ (ax) dx # și # V = -1 / bcos (BX) #

# I_2 = a / b (-1 / be ^ (ax) cos (bx) + o / binte ^ (ax) cos (BX) dx) #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + o ^ 2 / b ^ 2inte ^ (ax) cos (BX) dx #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + o ^ 2 / b ^ 2I_1 #

Înlocuiți acest lucru în integralul original și rezolvați pentru # # I_1, este un pic cam lung, dar o luam pas cu pas

# I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (BX) - (- a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + o ^ 2 / b ^ 2I_1) #

# I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (BX) -a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

# I_1 + a ^ / b ^ 2I_1 = / be ^ (ax) sin 2 1 (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + C #

# (A ^ 2 + b ^ 2) / b ^ 2I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + C #

# I_1 = b ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) (1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (BX)) + C #

# I_1 = 1 / (a ^ 2 + b ^ 2) (fi ^ (ax) sin (bx) + ae ^ (ax) cos (BX)) + C #

# I_1 = (e ^ (ax) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C #

Pentru problema ta # A = ln (2) # și # B = 3 #

# I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 9) + C #

Sperăm că nu sunt multe greșeli

Vedeți răspunsul de mai jos: am rezolvat folosind elemente discrete în loc de o formulare generală și nu am simplificat rezultatul final, după cum urmează: