Să începem cu funcția fără # M #:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
Această funcție are siguranța # X = 0 # ca rădăcină, de vreme ce am luat în considerare #X#.
Celelalte rădăcini sunt soluții de # X ^ 2-2x + 2 = 0 #, dar această parabolă nu are rădăcini. Aceasta înseamnă că polinomul original are o singură rădăcină.
Acum, un polinom #p (x) # de grad ciudat are întotdeauna cel puțin o soluție, pentru că ai
#lim_ {x la- infty} p (x) = - infty # și #lim_ {x la infty} p (x) = infty #
și #p (x) # este continuă, deci trebuie să treacă #X# axa la un moment dat.
Răspunsul vine din următoarele două rezultate:
- Un polinom de grad # N # are exact # N # rădăcini complexe, dar cel mult # N # rădăcini reale
- Având în vedere graficul #f (x) #, graficul de #f (x) + k # are aceeași formă, dar este tradus vertical (în sus dacă #k> 0 #, în sens descendent altfel).
Deci, începem de la # X ^ 3-2x ^ 2 + 2x #, care are doar o rădăcină reală (și deci două rădăcini complexe) și o transformăm în ea # X ^ 3-2x ^ 2 + 2x + m #, ceea ce înseamnă că o traducem în sus sau în jos, deci nu schimbăm numărul de soluții.
Cateva exemple:
Funcția originală: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #
grafic {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}
Traduceți în sus: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 #
grafic {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}
Traduceți în jos: # Y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 #
graf {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}
După cum puteți vedea, există întotdeauna o rădăcină
Răspuns:
Vezi mai jos
Explicaţie:
O soluție alternativă, poate mai elegantă:
este derivatul polinomului dvs. # 3x ^ 2-4x + 2 #, care este o parabolă concavă sus fără rădăcini, și deci întotdeauna pozitivă. Asa de, # F # este:
- Creșterea monotonă
- #lim_ {x la pm infty} f (x) = pm infty #
- # "Deg" (f) = 3 #
Primele două puncte arată că # F # are exact o rădăcină, iar a treia că celelalte două rădăcini sunt complexe.
