Dovedește că setul de putere este un câmp?

Răspuns:

Setul de putere al unui set este un inel comutativ în cadrul operațiunilor naturale de unire și intersecție, dar nu este un domeniu în cadrul acelor operațiuni, deoarece nu are elemente inverse.

Explicaţie:

Având în vedere orice set # S #, ia în considerare setul de putere # 2 ^ S # de # S #.

Aceasta are operațiuni naturale de unire # Uu # care se comportă ca o adăugare, cu o identitate # O / # și intersecția # Nn # care se comportă ca o multiplicare cu o identitate # S #.

In detaliu:

• # 2 ^ S # este închis sub # Uu #

  Dacă #A, B în 2 ^ S # atunci #A uu B în 2 ^ S #

• Există o identitate # O / în 2 ^ S # pentru # Uu #

  Dacă #A în 2 ^ S # atunci #A uu O / = O / uu A = A #

• # Uu # este asociativ

  Dacă #A, B, C în 2 ^ S # atunci #A uu (B uu C) = (A uu B) uu C #

• # Uu # este comutativ

  Dacă #A, B în 2 ^ S # atunci #A uu B = B uu A #

• # 2 ^ S # este închis sub # Nn #

  Dacă #A, B în 2 ^ S # atunci #A nn B în 2 ^ S #

• Există o identitate #S în 2 ^ S # pentru # Nn #

  Dacă #A în 2 ^ S # atunci #A nn S = S nn A = A #

• # Nn # este asociativ

  Dacă #A, B, C în 2 ^ S # atunci #A nn (B nn C) = (A nn B) nn C #

• # Nn # este comutativ

  Dacă #A, B în 2 ^ S # atunci #A nn B = B nn A #

• # Nn # este stânga și dreapta distributivă # Uu #

  Dacă #A, B în 2 ^ S # atunci # A nn (B uu C) = (A nn B) uu (A nn C) #

  și # (A uu B) nn C = (A nn C) uu (B nn C) #

Asa de # 2 ^ S # satisface toate axiomele necesare pentru a fi un inel comutativ cu adăugare # Uu # și multiplicare # Nn #.

Dacă #S = O / # atunci # 2 ^ S # are un element, și anume # O / #, astfel încât nu reușește să aibă identități distincte de aditivi și multiplicatori și, prin urmare, nu este un domeniu.

Altfel, rețineți acest lucru # S # nu are nici o inversă sub # Uu # și # O / # nu are nici o inversă sub # Nn #. Asa de # 2 ^ S # nu formează un câmp din cauza lipsei de elemente inverse.