Două colțuri ale unui triunghi au unghiuri de (3 pi) / 8 și pi / 6. Dacă o parte a triunghiului are o lungime de 1, care este cel mai lung perimetru posibil al triunghiului?

Răspuns:

Cel mai lung perimetru posibil este aproximativ #4.8307#.

Explicaţie:

Mai întâi, găsim un unghi rămas, folosind faptul că unghiurile unui triunghi se adaugă până la # Pi #:

Pentru #triangle ABC #:

Lăsa #angle A = (3pi) / 8 #

Lăsa #angle B = pi / 6 #

Atunci

#angle C = pi - (3pi) / 8-pi / 6 #

#color (alb) (unghiul C) = pi - (9pi) / 24- (4pi) / 24 #

#color (alb) (unghiul C) = (11pi) / 24 #

Pentru orice triunghi, partea cea mai scurtă este întotdeauna opusă celui mai mic unghi. (Același lucru este valabil și pentru partea cea mai lungă și cea mai mare.)

Pentru a maximiza perimetrul, lungimea unei părți cunoscute ar trebui să fie cea mai mică. Deci, de atunci #angle B # este cel mai mic (la # Pi / 6 #), noi am stabilit # B = 1 #.

Acum putem folosi legea sinusoidală pentru a calcula celelalte două părți:

#sin A / a = sinB / b #

# => a = b ori (sinA) / (sinB) #

#color (alb) (=> a) = 1 * (sin ((3pi) / 8)) / (sin (pi / 6)) #

#color (alb) (=> a) ~~ 0.9239 / 0.5 "" "= 1.8478 #

O formulă similară este utilizată pentru a arăta #c ~~ 1.9829 #.

Adăugând aceste trei valori (din #A#, # B #, și # C #) împreună vor obține cel mai lung perimetru posibil pentru un triunghi ca cel descris:

# P = "" a "" + b + "" c #

#color (alb) P ~~ 1.8478 + 1 + 1.9829 #

#color (alb) P = 4.8307 #

(Deoarece aceasta este o întrebare de geometrie, vi se poate cere să furnizați răspunsul în formă exactă, cu radicali. Acest lucru este posibil, dar un pic obositor de dragul unui răspuns aici, motiv pentru care mi-am dat răspunsul ca pe un valoare zecimală aproximativă.)

Două colțuri ale unui triunghi au unghiuri de (2 pi) / 3 și (pi) / 4. Dacă o parte a triunghiului are o lungime de 12, care este cel mai lung perimetru posibil al triunghiului?

Cel mai lung perimetru posibil este de 12 + 40.155 + 32.786 = 84.941. Deoarece două unghiuri sunt (2pi) / 3 și pi / 4, al treilea unghi este pi-pi / 8-pi / 6 = (12pi-8pi-3pi) / 24- = pi / 12. Pentru cea mai lunga parte perimetrala a lungimii 12, sa zicem a, trebuie sa fie opus celui mai mic unghi pi / 12 si apoi sa folosim formula sine, alte doua laturi vor fi 12 / (sin (pi / 12)) = b / (sin (2pi) / 3)) = c / (sin (pi / 4)) Prin urmare b = (12sin (2pi) / 3)) / (sin (pi / 12)) = 12xxsin (pi / 4)) / (sin (pi / 12)) = (12xx0.7071) /0.2588=32.786 Prin urmare, cel mai lung perimetru posibil este 12 + 40.155 + 32.786 = 84.941.

Două colțuri ale unui triunghi au unghiuri de (2 pi) / 3 și (pi) / 4. Dacă o parte a triunghiului are o lungime de 4, care este cel mai lung perimetru posibil al triunghiului?

P_max = 28.31 unități Problema vă oferă două dintre cele trei unghiuri într-un triunghi arbitrar. Deoarece suma unghiurilor dintr-un triunghi trebuie să adauge până la 180 de grade sau pi radiani, putem găsi al treilea unghi: (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi x = pi- (2pi) pi / 4 x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 x = pi / 12 Să tragem triunghiul: Problema afirmă că una din laturile triunghiului are o lungime de 4, nu specifică care parte. Cu toate acestea, în orice triunghi dat, este adevărat că partea cea mai mică va fi opusă celui mai mic unghi. Dacă vrem să maximizăm perimetrul, trebuie să facem partea cu

Două colțuri ale unui triunghi au unghiuri de (2 pi) / 3 și (pi) / 4. Dacă o parte a triunghiului are o lungime de 19, care este cel mai lung perimetru posibil al triunghiului?

(P = 19 + 51.909 + 63.5752 = 134.4842) Cele trei unghiuri sunt (2pi) / 3, pi / 4, pi / (19 / sin (pi / 4) = c / sin ((2pi) ) / sin (pi / 12) = 63.5752 Cea mai lungă culoare perimetrală posibilă (verde) (P = 19 + 51.909 + 63.5752 = 134.4842) )