Două colțuri ale unui triunghi au unghiuri de (2 pi) / 3 și (pi) / 4. Dacă o parte a triunghiului are o lungime de 4, care este cel mai lung perimetru posibil al triunghiului?

Răspuns:

# P_max = 28.31 # Unități

Explicaţie:

Problema vă oferă două dintre cele trei unghiuri într-un triunghi arbitrar. Deoarece suma unghiurilor dintr-un triunghi trebuie să adauge până la 180 de grade, sau # Pi # radiani, putem găsi al treilea unghi:

# (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi #

# X = PI- (2pi) / 3-pi / 4 #

# X = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 #

# X = pi / 12 #

Să desenăm triunghiul:

Problema afirmă că una dintre laturile triunghiului are o lungime de 4, dar nu specifică care parte. Cu toate acestea, în orice triunghi dat, este adevărat că cel mai mic lateral va fi opus celui mai mic unghi.

Dacă vrem să maximizăm perimetrul, trebuie să facem partea cu lungimea 4 partea opusă celui mai mic unghi. Deoarece celelalte două părți vor fi mai mari de 4, garantează că vom maximiza perimetrul. Prin urmare, triunghiul exterior devine:

În cele din urmă, putem folosi legea sinusurilor pentru a găsi lungimile celorlalte două părți:

#sin (a) / A = sin (b) / B = sin (c) / C #

Conectați-vă, primim:

#sin (pi / 12) / 4 = sin (pi / 4) / x = sin ((2pi) / 3) / y #

Rezolvarea pentru x și y primim:

# x = 10,93 # și # Y = 13,38 #

Prin urmare, perimetrul maxim este:

# P_max = 4 + 10,93 + 13,38 #

# P_max = 28.31 #

Notă: Deoarece problema nu specifică unitățile de lungime pe triunghi, trebuie doar să utilizați "unități".