Cum de a calcula acest lucru? int_0 ^ 1 log (1-x) / xdx + Exemplu

Răspuns:

Vezi mai jos.

Explicaţie:

Din păcate, funcția din integrare nu se va integra în ceva care nu poate fi exprimat în termeni de funcții elementare. Va trebui să utilizați metode numerice pentru a face acest lucru.

Vă pot arăta cum să utilizați o expansiune de serie pentru a obține o valoare aproximativă.

Începeți cu seria geometrică:

# 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 … = sum_ (n = 0) ^ ^ n # oor pentru # # Rlt1

Acum integrați cu respect # R # și folosind limitele #0# și #X# pentru a obține acest lucru:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

Integrarea părții stângi:

# Int_0 ^ x1 / (1-r) dr = - ln (1-r) _ 0 ^ x = -ln (1-x) #

Acum integrați partea dreaptă prin integrarea termenului pe termen:

# int_0 ^ x1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3 /

# = X + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

Deci, rezultă că:

# -n (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4 /

#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4 /

Acum împărțiți-vă #X#:

#n (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4 /

# = - 1 x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… #

Așadar, acum avem o expresie a seriei de putere pentru funcția de la care am început inițial. În cele din urmă, ne putem integra din nou pentru a obține:

# Int_0 ^ 1LN (1-x) / x = int_0 ^ 1-1-x / 2 x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… dx #

Integrarea termenului drept pe termen lung ne dă:

# Int_0 ^ 1LN (1-x) / x = - x-x ^ 2/4 x ^ 3/9-x ^ 4/16 -… _ 0 ^ 1 #

Evaluarea limitelor la patru termeni ne va da o valoare aproximativă:

# Int_0 ^ 1LN (1-x) / x ~~ {^ 2 -1-1 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0} #

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

Acum, numai patru termeni. Dacă doriți un număr mai precis, pur și simplu utilizați mai mulți termeni în serie. De exemplu, mergând la cel de-al 100-lea termen:

# Int_0 ^ 1LN (1-x) /x

În plus, dacă lucrați prin exact același proces, dar utilizați o notație de însumare (adică cu sigma mare, mai degrabă decât să scrieți termenii seriei), veți observa că:

# Int_0 ^ 1LN (1-x) / XDX = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 #

care este doar funcția Riemann-Zeta a 2, adică:

# Int_0 ^ 1LN (1-x) / XDX = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 = -zeta (2) #

De fapt, deja știm că această valoare trebuie să fie: #zeta (2) = pi ^ 2/6 #.

Prin urmare, valoarea exactă a integralului poate fi dedusă astfel:

# Int_0 ^ 1LN (1-x) / XDX = ^ 2 pi / 6 #,