Cum evaluați integritatea definită integrată sin2 din [0, pi / 6]?

Răspuns:

# Int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1 / # 4

Explicaţie:

# int_0 ^ (pi / 6) sin (2theta) d theta #

lăsa

#color (roșu) (u = 2teta) #

#color (roșu) (du = 2d theta) #

#color (roșu) (d theta = (du) / 2) #

Limitele sunt schimbate #color (albastru) (0, pi / 3) #

# int_0 ^ (pi / 6) sin2thetad theta #

# = Int_color (albastru) 0 ^ culoare (albastru) (pi / 3) sincolor (roșu) (u (du) / 2) #

# = 1 / 2int_0 ^ (pi / 3) sinudu #

După cum știm# Intsinx = -cosx #

# = - 1/2 (cos (pi / 3) -cos0) #

#=-1/2(1/2-1)=-1/2*-1/2=1/4#

prin urmare,# Int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1 / # 4

Cum evaluați integritatea definitivă int integrată (t ^ 2 + 1dt) delimitată de [0, sqrt7]?

Este int_0 ^ sqrt7 t * sqrt (t ^ 2 + 1) dt = int_0 ^ sqrt7 1/2 * (t ^ 2 + 1) (t2 + 1) ^ (3/2) / (3/2)] 'dt = 1/3 * [(t ^ 2 + 1) ^ (3/2)] _ 0 ^ sqrt7 = (16 sqrt (2) -1) ~ ~ 7,2091

Cum evaluați integritatea definită int ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 dx din [3,9]?

Int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx = 9/8-sqrt3 / 4 + 1/16 * ln 3 = 0.7606505661495 Din dat, int_3 ^ 9 ((sqrtx + 4sqrtx)) ^ 2 * dx Începem prin simplificarea mai întâi a integrand int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 ((sqrtx) / (4sqrtx) + 1 / (1 + 1 / (sqrtx)) ^ 2 * dx int_3 ^ 9 (1/4 + 1/16) * (1 + 2 / (sqrtx) + 1 / x) dx (1/16) * int_3 ^ 9 (1 + 16) * [x + (2 * x ^ (1/2)) / (1/2) + ln x] _3 ^ 9 (1/16) * [x + 4 * x ^ (1/16) * [(9 + 4 * 9 ^ (1/2) + ln 9) - (3 + 4 * 3 ^ (1/2) + ln3)] (1/16) * [9 + 12 + ln 9-3-4sqrt3-ln 3] (1/16) (18-4sqrt3 + ln 3) 9/8-sqrt3 / 4 + 1/16 * ln 3 0.760650566

Cum evaluați integritatea definită int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) de la [0, pi / 4]?

Pi / 4 Observați că din cea de-a doua identitate pitagoriană 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x Aceasta înseamnă că fracțiunea este egală cu 1 și acest lucru ne lasă integrarea destul de simplă a int_0 ^ (pi / 4) dx = (pi / 4) = pi / 4