Cum pot găsi integra int (x * cos (5x)) dx?

Vom ține cont de formula pentru integrarea prin părți, care este:

#int u dv = uv - int v du #

Pentru a găsi acest lucru integrat cu succes vom lăsa #u = x #, și #dv = cos 5x dx #. Prin urmare, #du = dx # și #v = 1/5 sin 5x #. (# V # pot fi găsite utilizând o comandă rapidă # U #-substituţie)

Motivul pentru care am ales #X# pentru valoarea lui # U # este pentru că știu că mai târziu voi ajunge să se integreze # V # înmulțit cu # U #derivat. Deoarece derivatul lui # U # este doar #1#, și din moment ce integrarea unei funcții de tip trig, prin ea însăși, nu o face mai complexă, am eliminat efectiv #X# de la integrand si trebuie doar sa va ingrijorati de sine acum.

Prin urmare, prin conectarea la formula IBP, primim:

#int xcos5x dx = (sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx #

Trageți #1/5# din integrad ne dă:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 int sin 5x dx #

Integrarea sinusului va dura doar a # U #-substituţie. De când am folosit deja # U # pentru formula IBP voi folosi litera # Q # in schimb:

#q = 5x #

#dq = 5 dx #

A primi o # 5 dx # în interiorul integrand voi multiplica integrale cu altul #1/5#:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int 5sin 5x dx #

Și înlocuind totul în termeni de # Q #:

#int xcos5x dx = (sin5x) / 5 - 1/25 int sinq * dq #

Știm că integralitatea lui #păcat# este # # -Cos, pentru a putea finaliza cu ușurință acest integrabil. Amintiți-vă de constanta integrării:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + 1/25 cos q + C #

Acum vom înlocui pur și simplu înapoi # Q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + (cos 5x) / 25 + C #

Și există integritatea noastră.

Arată cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Eu sunt un pic confuz dacă fac Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), va deveni negativ ca cos (180 ° -theta) al doilea cvadrant. Cum pot să dovedesc această întrebare?

Vedeți mai jos. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ ^ 2 ((4pi) / 10) + cos 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Cum ai integra integra int1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx?

Acest integral nu există. Deoarece ln x> 0 în intervalul [1, e], avem sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x aici, astfel încât integritatea devine int_1 ^ e dx / {x ln x} Înlocuit ln x = u, atunci dx / x = du astfel încât int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u Acesta este un integru necorespunzător, deoarece integrand se diferențiază la limita inferioară. Aceasta este definită ca lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u dacă există. Acum, int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln, deoarece aceasta se diferențiază în limita l -> 0 ^ +, integramentul nu exi

Cum pot găsi integritatea int (ln (x)) ^ 2dx?

Obiectivul nostru este de a reduce puterea lui ln x, astfel încât integrarea să fie mai ușor de evaluat. Putem realiza acest lucru prin utilizarea integrării prin părți. Rețineți formula IBP: int u dv = uv - int v du Acum, vom lăsa u = (lnx) ^ 2 și dv = dx. Prin urmare, du = (2inx) / x dx și v = x. Acum, asamblând piesele împreună, primim: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Acest nou integral arată mult mai bine! Simplificând un pic și aducând constant în față, randamentele: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Acum, pentru a scăpa de acest integral integrat,