Cum evaluați integritatea definită int ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 dx din [3,9]?

Răspuns:

# int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx = #

# 9/8-sqrt3 / 4 + 1/16 * ln 3 = 0.7606505661495 #

Explicaţie:

De la dat, # int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx #

Începem prin simplificarea mai întâi a integrării

# int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx #

# int_3 ^ 9 ((sqrtx) / (4sqrtx) + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx #

# int_3 ^ 9 (1/4 + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx #

# int_3 ^ 9 (1/4) ^ 2 * (1 + 1 / (sqrtx)) ^ 2 * dx #

# int_3 ^ 9 (1/16) * (1 + 2 / (sqrtx) + 1 / x) dx #

# (1/16) * int_3 ^ 9 (1 + 2 * x ^ (- 1/2) + 1 / x) dx #

# (1/16) * x + (2 * x ^ (1/2)) / (1/2) + ln x _3 ^ 9 #

# (1/16) * x + 4 * x ^ (1/2) + ln x _3 ^ 9 #

# (1/16) * (9 + 4 * 9 ^ (1/2) + ln 9) - (3 + 4 * 3 ^ (1/2) + ln3)

# (1/16) * 9 + 12 + ln 9-3-4sqrt3-ln 3 #

# (1/16) (18-4sqrt3 + ln3) #

# 9/8-sqrt3 / 4 + 1/16 * ln 3 #

#0.7606505661495#

Dumnezeu să binecuvânteze … Sper că explicația este utilă.

Cum evaluați integritatea int (cosx) / (sin ^ (2) x) dx?

Introsx / sin ^ 2xdx = -cscx Fie u = sinx, atunci du = cosxdx și intcosx / sin ^ 2xdx = int (du) / u ^ 2 = -1 / u = -1 / sinx =

Cum evaluați integritatea definită int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) de la [0, pi / 4]?

Pi / 4 Observați că din cea de-a doua identitate pitagoriană 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x Aceasta înseamnă că fracțiunea este egală cu 1 și acest lucru ne lasă integrarea destul de simplă a int_0 ^ (pi / 4) dx = (pi / 4) = pi / 4

Cum evaluați integritatea definită integrată sin2 din [0, pi / 6]?

Int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4 int_0 ^ (pi / 6) sin (2theta) d theta culoare (roșu) (u = 2theta) culoare (roșu) (du = 2d theta) d] / 2) Limitele sunt schimbate în culori (albastru) ([0, pi / 3]) int_0 ^ (pi / 6) sin2thetad theta = int_color 3) sincolor (roșu) (u (du) / 2) = 1 / 2int_0 ^ (pi / 3) sinudu După cum știm teintsinx = -cosx = -1/2 cos (pi / / 2 (1 / 2-1) = - 1/2 * -1 / 2 = 1/4 deci int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4