Răspuns:
# "Aceasta este o întrebare bună - răspunsul merită să fie la îndemână." #
# "Din fericire, dovada este foarte simplă. Vom crea un" #
# "homomorfismul grupurilor de aditivi, și apoi aplicați" #
# "Teorema fundamentală a Homomorfismului." #
# "În primul rând, o prudență. Într-un coeficient de orice sistem algebric," #
# "setul de numitori este, desigur, un subset al setului de numerotare." #
# "Cu toate acestea, ceea ce este solicitat să fie afișat, se referă la coeficientul" #
# {RR ^ n} / {RR ^ m}. "Vectorii din" RR ^ n "au lungimea" n ", în timp ce vectorii din" RR ^ m "au lungimea" m. "Deoarece acestea sunt lungimi diferite," #
# "numitor," RR ^ m, "nu poate fi un subset al numărătorului," RR ^ n. #
# "Deci, trebuie să corectăm declarația care trebuie afișată." #
# "(Rețineți că în cazul în care" n = m ", în care lungimile" #
# "vectorii celor două seturi sunt aceleași, nu va trebui să fie" #
# "manipulate separat, corectarea pe care o vom face, în ceea ce este" #
# "pentru a fi afișat, va include acest caz, în mod automat.)" #
# "Iată cum puteți face declarația corectată." #
# "Să": \\\\\\\\\\ "
# hat {RR ^ m} = #
# {{ bbbb {0, …, 0} ^ {n - m}, overbrace {a_ {n - m + 1}, …, a_n} ^ {m}) | a_ {n - m + 1}, …, a_n în RR }. quad (I) #
# "Putem gândi la vectorii din" hat {RR ^ m} "ca vectori ai" RR ^ m #
# "cu" (n - m) quad quad 0 "sunt introduse în față, deci sunt" #
# "în esență, același sistem algebric. Exact, în mod clar" #
# "au:" qquad hat {RR ^ m} ~~ RR ^ m "exercițiu, folosind harta:
# qquad (hat {RR ^ m}, +) rarr (RR ^ m, +); #
n m n m n m 1}, a_n} ^ {m q n m }} mapsto (overbrace {a_ {n - m + 1}, …, a_n} ^ {m}). #
# "Cu subsetul corect de" RR ^ n "de utilizat, definit acum, vom" #
# "afișează instrucțiunea corectată:" #
qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad RR ^ n / hat {RR ^ m} quad ~~ quad RR ^ {n - m}. qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad (II) #
# "Permiteți-mi să reiterez că lucrarea de aici este de fapt simplă și" #
# "direct. Vectorii lungi pot face să apară" #
# "complicat - nu este." #
# "Deci, de sus în jos aici, am arătat:" #
qquad qquad qquad qquad qquad quad pi (vec {a} - vec {b}) pi #
# "Astfel:" quad pi quad "este un homorfism al grupurilor de aditivi:" #
qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad (RR ^ n, +), (RR ^ {n - m}, +). qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad (II) #
# "2) Deci, avem imediat, de Fundamental" #
# qquad qquad "Teorema homomorfismului:" #
qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad RR ^ n / {ker (pi)} quad ~~ quad Im (pi). qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad quad (III) #
"Vom arăta că: qquad ker (pi) = hat {RR ^ m} quad" și " quad Im (pi) = RR ^ {n - m}; #
# "care va stabili rezultatul dorit." #
# "a) Permiteți:" qquad qquad vec {z} în RR n qquad "și" qquad vec {z} în ker (pi). #
# qquad o. qquad vec {z} în RR ^ n quad hArr #
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {nm +1}, …, z_n} ^ {m}), #
qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad "pentru unele" quad z_1, z_2, … z_n in RR. #
# qquad o. qquad vec {z} în ker (pi) quad hArr #
n m}, overbrace { z_ {nm + 1}, …, z_n} ^ {m})) = (overbrace {0, 0, …, 0} ^ {n - m}). #
# qquad qquad "continuând și utilizând definiția hărții" pi - #
# qquad qquad qquad qquad ", adică ștergeți ultimele" m "intrări, avem:" #
\\\\\\\\\\\\\\\ ", 0} ^ {n - m}). #
# "Prin urmare, avem:" #
z {n-m} = 0, z_2 = 0, …
# "Acum să punem aceste informații înapoi în" vec {z}: "#
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {nm +1}, …, z_n} ^ {m}) #
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\, …, z_n} ^ {m}).
# "Acum, reamintind definiția setului:" quad hat {RR ^ m}, "în (I)
# "noi avem:" #
qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad vec {z} în hat {RR ^ m}. #
# "Prin urmare, de sus în jos în această parte, avem:" #
qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad vec {z} în ker (pi) quad hArr quad vec {z} în hat {RR ^ m}. #
# "Și așa, avem:" #
qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad ker (pi) = hat {RR ^ m}. #
"Și acum că am găsit" ker (pi), "îl înlocuim" #
# "în rezultatul Homomorfismului fundamental" #
# "Teorema pe care am avut-o în (III) aici:" #
qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quadRR ^ n / hat {RR ^ m} quad ~~ quad Im (pi). qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad (IV) #
# "Acum este mult mai aproape de rezultatul dorit. Suntem aproape" #
# ". Vom găsi acum" Im (pi). "Acesta va fi ușor." #
# "b) Permiteți:" qquad qquad vec {t} în RR ^ {n- m}. #
# "Deci:" #
# qquad vec {t} = (overbrace {t_1, t_2, …, t_ {nm}} ^ …, t_n în RR. #
# "Acum permiteți:" qquad qquad vec {T} în RR ^ n, quad "unde definim" vec {T} "după cum urmează:
\\\\\\\\\\\\\\\ " …, 1} ^ {m}). #
# "Deci avem:" #
# qquad o. qquad vec {T} în RR ^ n; #
# qquad o. qqad pi (vec {T}) = pi ((.., 1} ^ {m})) #
qquad qquad qquad q pi (1, …, 1} ^ {"șterge"})) #
# qquad qquad qquad qquad qquad qquad = (overbrace {t_1, t_2, …, t_ {
qquad qquad qquad qquad qquad = vec {t}, qquad qquad qquad "prin definiția" vec {t} "de mai sus aici. #
# "Deci, din cele de mai sus, avem:" #
qquad qquad qquad qquad qquad quad vec {t} pi (vec {T}) qquad "și" qquad vec {T} în RR ^ n. #
# "Astfel, prin definirea imaginii unei hărți:" #
qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad vec {t} în Im (pi). #
# "Așa cum " vec {t} "a fost luată în mod arbitrar în" RR ^ {n- m} ",
# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad RR ^ {n- m} sube Im (pi). #
# "Dar din moment ce pi " hărți în " RR ^ {n- m}, " prin definiția imaginii unei "#
# "harta, avem:" #
# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad Im (pi) supune RR ^ {n- m}. #
# "Deci avem acum:" #
qquad qquad qquad quad quad Im (pi) sube RR ^ {n- m} qquad "și" qquad RR ^ {n- m} sube Im (pi). #
# "Prin urmare:" #
# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad Im (pi) = RR ^ {n- m}. #
# "Acum că știm" Im (pi), "putem înlocui acest lucru înapoi în" #
# "rezultatul nostru intermediar, și major, rezultă în (IV). Obținem:" #
qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad RR ^ n / hat {RR ^ m} quad ~~ quad RR ^ {n- m}. #
# "Acesta este rezultatul nostru dorit!" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad pătratul #
