Care este intervalul de convergență a sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

Răspuns:

# x în (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Explicaţie:

Putem face asta #sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n # este o serie geometrică cu raportul # R = 1 / (x (1-x)) #.

Acum știm că seriile geometrice converg atunci când valoarea absolută a raportului este mai mică de 1:

# r | <1 iff-1 <r <1 #

Deci, trebuie să rezolvăm această inegalitate:

# 1 / (x (1-x)) <1 și 1 / (x (1-x))>

Să începem cu primul:

# 1 / (x (1-x)) <1 dacă f1 / (x (1-x)) -

# (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 #

Putem dovedi cu ușurință că numitorul este întotdeauna pozitiv și numitorul este negetiv în intervalul respectiv #x în (-oo, 0) U (1, oo) #.

Aceasta este soluția pentru prima noastră inegalitate.

Să vedem al doilea:

(X-x)) / (x (1-x)) / (x (1-x))> 0 #

Această inegalitate are soluția intervalului:

# x în (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Deci, seriile noastre converg în cazul în care acest lucru la intervale sunt ambele adevărate.

Astfel, intervalul de convergență este:

# x în (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #