Care este intervalul de convergență a sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n?

$Care este intervalul de convergență a sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n?$

Răspuns:

Vezi mai jos.

Explicaţie:

Utilizarea identității polinomiale

(x-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdot + x ^ (n-1)

avem pentru #abs x <1 #

(x-1) / (x-1) = 1 / (1-x) #

apoi, pentru # x ne k pi, k în ZZ # noi avem

#sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x) #

Care este intervalul de convergență a sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? Și care este suma în x = 3?

] -o, -4 ["U"] 5, oo ["este intervalul de convergență pentru x" "x = 3 nu este în intervalul de convergență, astfel suma pentru x = 3 este" oo " ar fi o serie geometrică prin înlocuirea lui "z = log_2 ((x + 1) / (x-2))" Atunci avem "sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / | <1> Astfel intervalul de convergență este "-1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) (X-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" (x-2) "Caz pozitiv:" => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) => 0 <x + 4 < 4 și x> 5 => x> 5 "Caz negativ:" -4> x>

Care este intervalul de convergență a sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

X în (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) ^ n este o serie geometrică cu raportul r = 1 / (x (1-x)). Acum știm că seriile geometrice converg atunci când valoarea absolută a raportului este mai mică de 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Deci, trebuie să rezolvăm această inegalitate: 1 / (x (1-x) 1 / (x (1-x))> -1 Să începem cu primul: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x 2 2) / (x (1-x)) <0 Putem dovedi cu ușurință că numitorul este întotdeauna pozitiv și numitorul este negetiv în intervalul x în (-oo, 0) U (1, oo). Aceasta este soluția pentru prima noastră

Este seria sum_ (n = 0) ^ infty1 / ((2n + 1)!) Absolut convergentă, convergentă sau divergentă condiționată?

"Comparați-l cu" sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2.7182818 ... " 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2.7182818 ... "Toți termenii sunt pozitivi, astfel încât suma S a seriei este între" 0 <S <e = 2.7182818 .... convergent."