Fie p o matrice singulară 1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 + cdot + p ^ n = 0 (O reprezintă matricea nulă)

Răspuns:

Raspunsul este # = - (I + p + ……… p ^ (n-1)) #

Explicaţie:

Noi stim aia

# P ^ -1p = I #

# I + p + p ^ 2 + p ^ 3 ….. p ^ n = O #

Multiplicați ambele părți prin # P ^ -1 #

# P ^ -1 * (1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 ….. p ^ n) = p ^ -1 * O #

# P ^ -1 * 1 + p ^ -1 * p + p ^ -1 * p ^ 2 + …… p ^ -1 * p ^ n = O #

# P ^ -1 + (p ^ -1p) + (p ^ -1 * p * p) + ……… (p ^ -1p * p ^ (n-1)) = O #

# P ^ -1 + (I) + (I * p) + ……… (I * p ^ (n-1)) = O #

Prin urmare, # P ^ -1 = - (I + p + ……… p ^ (n-1)) #

Răspuns:

Vezi mai jos.

Explicaţie:

#p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdot + p ^ (n-1)) = 0 # dar # P # prin ipoteza nu este singulară atunci există # P ^ -1 # asa de

(p-1) = p + 1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1) 0 #

și, în sfârșit

# p ^ - 1 = - suma_ (k = 1) ^ (n-1) p ^ k #

De asemenea, pot fi rezolvate ca

= p (p-1) + p (n) = p (n) (p-k)