Care este proiecția (i -2j + 3k) pe (3i + 2j - 3k)?

Răspuns:

#proj_vec v vec u = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #

Explicaţie:

Pentru a face mai ușor să le referim la ele, să numim primul vector #vec u # și al doilea #vec v #. Vrem proiectul #vec u # pe #vec v #:

#proj_vec ve vec u = ((vec u * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v #

Aceasta este, în cuvinte, proiecția vectorului #vec u # pe vector #vec v # este produsul punct al celor doi vectori, împărțit la pătratul lungimii lui #vec v # ori vector #vec v #. Rețineți că piesa din interiorul parantezelor este un scalar care ne spune cât de departe de-a lungul direcției #vec v # proiecția ajunge.

Mai întâi, să găsim lungimea #vec v #:

# || vec v || = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt22 #

Dar rețineți că în expresia ceea ce dorim de fapt este # || vec v || ^ 2 #, așa că, dacă ne pătrundem ambele părți, ajungem #22#.

Acum avem nevoie de produsul dot al lui #vec u # și #vec v #:

#vec u * vcv = (1xx3 + (- 2) xx2 + 3xx (-3)) = (3-4-9) = (-10) #

(pentru a găsi produsul punct înmulțim coeficienții lui #i, j și k # și adăugați-le)

Acum avem tot ce avem nevoie:

#proj_vec v vec u = ((vec u * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v = (-10/22) (3i + 2j-3k) #

# = (- 30 / 22i-20 / 22j + 30 / 22k) = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k)