Care este proiecția <0, 1, 3> pe <0, 4, 4>?

Răspuns:

Proiecția vectorului este #< 0,2,2 >#, proiecția scalară este # # 2sqrt2. Vezi mai jos.

Explicaţie:

Dat # veca = <0,1,3> # și # vecb = <0,4,4> #, noi putem gasi #proj_ (vecb) Veca #, vector proiecție de # # Veca pe # # Vecb utilizând următoarea formulă:

#proj_ (vecb) Veca = ((Veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Asta este produsul dot al celor două vectori împărțit la magnitudinea lui # # Vecb, înmulțit cu # # Vecb împărțită la amploarea sa. Cea de-a doua cantitate este o cantitate vectorială, deoarece divizăm un vector printr-un scalar. Rețineți că ne împărțim # # Vecb prin magnitudinea sa, pentru a obține o vector unitate (vector cu magnitudine de #1#). S-ar putea să observați că prima cantitate este scalară, deoarece știm că atunci când luăm produsul punct de două vectori, rezultatul este un scalar.

De aceea mărime scalară proiecție de #A# pe # B # este #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #, de asemenea scrisă # | Proj_ (vecb) Veca | #.

Putem începe prin a lua produsul dot al celor două vectori:

# veca * vecb = <0,1,3> * <0,4,4> #

#=> (0*0)+(4*1)+(4*3)#

#=>0+4+12=16#

Apoi putem găsi magnitudinea lui # # Vecb prin luarea rădăcinii pătrate a sumei pătratelor fiecăruia dintre componente.

# | Vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | Vecb | = sqrt ((0) ^ 2 + (4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => Sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt (32) #

Și acum avem tot ce avem nevoie pentru a găsi proiecția vectorului # # Veca pe # # Vecb.

#proj_ (vecb) veca = (16) / sqrt (32) * (<0,4,4>) / sqrt (32)

#=>(16 < 0,4,4 >)/32#

#=>(< 0,4,4 >)/2#

#=>< 0,2,2 >#

Proiecția scalară a # # Veca pe # # Vecb este doar prima jumătate a formulării, unde #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #. Prin urmare, proiecția scalară este # 16 / sqrt (32) #, care simplifică în continuare # # 2sqrt2. Am arătat simplificarea de mai jos.

# 16 / sqrt (32) #

# => 16 / sqrt (16 * 2) #

# => 16 / (4 * sqrt2) #

# => 4 / sqrt2 #

# => (4 * sqrt2) / (sqrt2 * sqrt2) #

# => (4sqrt2) / 2 #

# => 2sqrt2 #

Sper că vă ajută!