Cum găsiți o reprezentare a seriei de putere pentru (arctan (x)) / (x) și care este raza de convergență?

Răspuns:

Integrați seria de putere a derivatului din #arctan (x) # apoi divide prin #X#.

Explicaţie:

Știm reprezentarea seriei de putere a # 1 / (1-x) = suma_nx ^ n AAx # astfel încât #absx <1 #. Asa de # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^.

Deci, seria de putere de #arctan (x) # este (2n + 1) x ^ (2n + 1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ #.

Îi împărțiți #X#, veți afla că seria de putere de #arctan (x) / x # este #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #. Sa spunem #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

Pentru a găsi raza de convergență a acestei serii de putere, evaluăm #n (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

(2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#n (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n). Deci, dacă vrem ca seria de putere să converge, avem nevoie #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, deci seria va converge dacă #absx <1 #, ceea ce nu este surprinzător, deoarece este raza de convergență a reprezentării seriei de putere #arctan (x) #.