Cea de-a patra putere a diferenței comune a progresiei aritmetice cu intrări întregi este adăugată la produsul celor patru termeni consecutivi ai acesteia. Dovedești că suma rezultată este pătratul unui întreg?

Fie diferența comună a unui AP de numere întregi # # 2d.

Orice patru termeni consecutivi ai progresiei pot fi reprezentați ca # a-3d, a-d, a + d și a + 3d #, Unde #A# este un număr întreg.

Deci, suma produselor acestor patru termeni și puterea a patra a diferenței comune # (2d) ^ 4 # va fi

(a + d) (a + d) (a + 3d)) + culoarea (roșu) ((2d) ^ 4) #

# = Culoare (albastru) ((a ^ 2-9d ^ 2) (a ^ 2-d ^ 2)) + culoare (roșu) (16d ^ 4) #

# = Culoare (albastru) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 9d ^ 4) + culoare (roșu) (16d ^ 4) #

# = Culoare (verde) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 25d ^ 4) #

# = Culoare (verde) ((a ^ 2-5d ^ 2) ^ 2 #, care este un pătrat perfect.

Primii trei termeni de 4 numere întregi sunt în aritmetică P. și ultimii trei termeni sunt în Geometric.P. Cum să găsiți aceste 4 numere? Având în vedere (1 + ultimul termen = 37) și (suma celor două întregi la mijloc este 36)

"Numerele Reqd sunt:" 12, 16, 20, 25. Să numim termenii t_1, t_2, t_3 și, t_4, unde, t_i în ZZ, i = 1-4. Având în vedere că termenii t_2, t_3, t_4 formează un GP, luăm, t_2 = a / r, t_3 = a, și, t_4 = ar, unde, ane0 .. De asemenea, având în vedere că t_1, t_2 și t_3 sunt în AP, avem, 2t_2 = t_1 + t_3 rArr t_1 = 2t_2-t_3 = (2a) / ra. Astfel, avem, în totalitate, Seq., T_1 = (2a) / r-a, t_2 = a / r, t_3 = a, și t_4 = ar. Prin ceea ce este dat, t_2 + t_3 = 36rArra / r + a = 36, adică un (1 + r) = 36r ....................... .................................... (ast_1). Mai mult, t

Suma primilor patru termeni ai unui GP este de 30 și cea a ultimilor patru termeni este de 960. Dacă primul și ultimul termen al GP sunt 2 și respectiv 512, găsiți raportul comun.

2root (3) 2. Să presupunem că raportul comun (cr) al GP în cauză este r și n ^ (th) termen este ultimul termen. Având în vedere că primul termen al GP este 2: "GP este" {2,2r, 2r ^ 2,2r ^ 3, .., 2r ^ (n-4), 2r ^ 2r ^ (n-2), 2r ^ (n-1)}. Dacă 2 + 2r + 2r ^ 2 + 2r ^ 3 = 30 ... (stea ^ 1) și 2r ^ (n-4) + 2r ^ 2r ^ (n-1) = 960 ... (stea ^ 2). De asemenea, știm că ultimul termen este 512.:. r ^ (n-1) = 512 .................... (stea ^ 3). Acum, (star ^ 2) rArr r ^ (n-4) (2 + 2r + 2r ^ 2 + 2r ^ 3) = 960, + 2r ^ 2 + 2r ^ 3) = 960. :. (512) / r ^ 3 (30) = 960 ...... [deoarece, (star ^ 1) & (star ^ 3)].

Un număr întreg este de nouă ori mai mult decât de două ori un alt număr întreg. Dacă produsul dintre numere întregi este de 18, cum puteți găsi cele două întregi?

Soluții întregi: culoare (albastru) (- 3, -6) Fie întregi reprezentați prin a și b. Ni se spune: [1] culoare (alb) ("XXX") a = 2b + 9 (un număr întreg este de nouă ori mai mult decât două ori celălalt număr întreg) = 18 (Produsul întregilor este 18) Pe baza [1], știm că putem înlocui (2b + 9) pentru un în [2]; (3) culoare (alb) ("XXX") (2b + 9) xx b = 18 Simplificarea cu scopul de a scrie aceasta ca formă standard: + 9b = 18 [6] culoare (alb) ("XXX") 2b ^ 2 + 9b-18 = 0 Puteti folosi formula quadratica pentru b pentru a recunoaste factorul: ") (2b-3)