Care sunt soluțiile pentru (z-1) ^ 3 = 8i?

Răspuns:

# z în {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

Explicaţie:

Pentru această problemă, va trebui să știm cum să găsim # ^ "Th" # n rădăcini de un număr complex. Pentru a face acest lucru, vom folosi identitatea

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Din cauza acestei identități, putem reprezenta orice număr complex ca

# a + bi = Re ^ (itheta) # Unde #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # și #theta = arctan (b / a) #

Acum vom trece peste pașii pentru a găsi # 3 ^ "rd" # rădăcini de un număr complex # A + bi #. Pașii pentru găsirea # ^ "Th" # n rădăcinile sunt similare.

Dat # a + bi = Re ^ (itheta) # căutăm pentru toate numerele complexe # Z # astfel încât

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

La fel de # Z # este un număr complex, există # # R_0 și # # Theta_0 astfel încât

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

Atunci

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

Din aceasta, avem imediat # R_0 = R ^ (1/3) #. De asemenea, putem echivala exponenții # E #, dar notând că sinusul și cosinusul sunt periodice cu perioada # # 2pi, apoi de la identitatea originală, # E ^ (itheta) # va fi la fel de bine. Atunci noi avem

# 3itheta_0 = i (theta + 2pik) # Unde #k în ZZ #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # Unde #k în ZZ #

Cu toate acestea, ca și cum vom continua adăugarea # # 2pi peste și peste, vom ajunge la aceleași valori, putem ignora valorile redundante prin adăugarea restricției # theta_0 în 0, 2pi) #, acesta este, #k în {0, 1, 2} #

Punandu-le laolalta, avem solutia stabilita

# z în {R ^ (1/3) e ^ (itheta / 3), R ^ (1/3) e ^ (i (theta + 2pi) (i (+ 4pi theta) / 3)} #

Putem converti acest lucru înapoi # A + bi # forma dacă se dorește utilizarea identității

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Aplicând cele de mai sus la problema la îndemână:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

Folosind procesul de mai sus, putem găsi # 3 ^ "rd" # rădăcini de # I #:

#i = e ^ (ipi / 2) => i ^ (1/3) în {e ^ (ipi / 6), e ^ (5pi) } #

Punerea în aplicare # e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) # noi avem

# i ^ (1/3) în {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2,

În cele din urmă, înlocuim aceste valori pentru #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

# z în {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2)

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #