Conversia tuturor numerelor complexe în formă trigonometrică și apoi simplificarea expresiei? Scrieți răspunsul în formularul standard.

Răspuns:

{{2 + 2i} ^ 5 (-sqrt {3} + i) ^ 3} / (sqrt {3}

# = (sqrt {3} -1) / 2 + (sqrt {3} + 1) / 2 i #

Explicaţie:

Într-un alt răspuns la această întrebare, am presupus că există o greșeală în această întrebare și asta #-3# trebuia să fie # {3} # -sqrt. Am fost asigurat într-un comentariu că nu este cazul, că întrebarea este corectă așa cum este scrisă.

Nu voi repeta modul în care am decis

# 2 + 2i = 2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ circ #

# sqrt {3} + i = 2 text {cis} 30 ^ circ #

Dar acum trebuie să ne convertim # -3 + i # la forma trigonometrică. Putem face acest lucru, dar din moment ce nu este unul dintre triunghiurile preferate ale lui Trig, este ceva mai ciudat.

# | -3 + i | = sqrt {3 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {10} #

Suntem în al doilea cadran și valoarea principală a tangentei inverse este al patrulea cadran.

# unghiul (-3 + i) = text {Arc} textul {tan} (1 / {- 3}

# 3 + i = sqrt {10} text {cis} (text {Arc} text {tan} (1 /

De Moivre nu funcționează foarte bine într-o formă ca asta, ajungem

(3 / i) ^ 3 = sqrt {10 ^ 3} text {cis} (3 {text}

Dar nu suntem blocați. Din moment ce exponentul este numai #3# putem face acest lucru cu formule cu unghi triplu. Să numim unghiul constant pe care l-am găsit

#theta = unghiul (-3 + i) #

De De Moivre, # (3) + (3 + i) ^ 3 = (sqrt {10} text {cis} theta) ^ 3 = 10sqrt {10}

Noi stim

# cos cos theta = -3 / sqrt {10}, quad sin theta = 1 / sqrt {10} #

# cos (3 theta) = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = 4 (-3 / sqrt {10}) ^ 3-3 (-3 / sqrt {10} 50 #

# 3 (1 / sqrt {10}) - 4 (1 / sqrt {10}) ^ 3 = (13 sqrt (10) / 50 #

# (3 + i) ^ 3 = 10sqrt {10} (sqrt {10} / 50) (-9 + 13 i)

Pare mult mai mult decât cuburile # (- 3 + i): #

(3 + i) (-3 + i) (- 3 + i) = (3 + i) (8-6i) = 18 + 26 i quad sqrt #

OK, hai să facem problema:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i)

{} {{2 {sqrt {2} text {cis} 45 ^ circa) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} } #

# {{2 ^ 5 sqrt {2 ^ 5}} / 2 ^ 10} { text {cis} (5 cdot 45 ^ circ) 3 + i) ^ 3 #

<= {{} {} {} {} {} {} {}

# = (sqrt {2} / 8) text {cis} (225 ^ circ - 300) (-3 + i)

# = (sqrt {2} / 8) (-18 + 26 i) text {cis}

Uh, nu se termină niciodată. Primim

#cos (= 75 ^ circ) = cos 75 ^ circ = cos (45 ^ circ + 30 ^ circ) = sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2-1/2) = 1/4 {6} -sqrt {2}) #

#sin (-75 ^ circ) = - (sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30) = -sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 + 1/2) = - {6} + sqrt {2}) #

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i)

(sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) 1/4 ((sqrt {6} -sqrt {2}) -

# = {11 + 2 sqrt (3)} / 4 + (11 sqrt (3) -2) / 4 i #