De ce este rădăcina pătrată a lui 5 un număr irațional?

Răspuns:

Vezi explicația …

Explicaţie:

Iată o schiță de dovadă prin contradicție:

Presupune #sqrt (5) = p / q # pentru unele numere întregi pozitive # P # și # Q #.

Fără pierderea generalității, putem presupune acest lucru #p, q # sunt cele mai mici numere.

Apoi, prin definiție:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Multiplicați ambele capete prin # Q ^ 2 # a obține:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

Asa de # P ^ 2 # este divizibil prin #5#.

Apoi de atunci #5# este prim, # P # trebuie să fie divizibil #5# de asemenea.

Asa de #p = 5m # pentru un număr întreg pozitiv # M #.

Deci avem:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

Împărțiți ambele capete prin #5# a obține:

# q ^ 2 = 5 m ^ 2 #

Împărțiți ambele capete prin # M ^ 2 # a obține:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

Asa de #sqrt (5) = q / m #

Acum #p> q> m #, asa de #q, m # este o pereche mai mică de numere întregi a căror coeficient este #sqrt (5) #, contrazicând ipoteza noastră.

Deci, ipoteza noastră #sqrt (5) # pot fi reprezentate prin # P / q # pentru unele numere întregi # P # și # Q # este falsă. Acesta este, #sqrt (5) # nu este rațională. Acesta este, #sqrt (5) # este irațional.