X ^ 6 - 5x ^ 3 + 8 ................ (factorizare)?

Răspuns:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 = #

# (X ^ 2- (alfa + bar (alfa)) x + 2) (x ^ 2- (omegaalpha + omega ^ 2bar (alfa)) x + 2) (x ^ 2- (omega ^ 2alfa + omegabar (alfa)) x + 2) #

după cum se descrie mai jos …

Explicaţie:

Avertizare:

Acest răspuns poate fi mult mai avansat decât se așteaptă să știi.

notițe

Este posibil să se simplifice și să se găsească:

# alpha + bar (alfa) = 1/2 (1 + sqrt (21)) #

# omegaalpha + omega ^ 2bar (alfa) = 1/2 (1-sqrt (21)) #

# omega ^ 2alpha + omegabar (alfa) = -1 #

dar nu este (încă) clar pentru mine cât de bine să fac acest lucru.

Răspuns:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

(x2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 +) x + 2) #

Explicaţie:

Iată o metodă mai simplă …

Dat:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

Căutați o factorizare a formei:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

= x (x + 2 + alfax + 2) (x ^ 2 + betax + 2)

# = X ^ 6 + (alfa + beta + gamma) x ^ 5 + (alfa-beta + betagamma + gammaalpha + 6) x ^ 4 + (2 (alfa + beta + gamma) + alphabetagamma) x ^ 3 + (2 (alfa-beta + betagamma + gammaalpha) +12) x ^ 2 + 4 (alfa + beta + gamma) x + 8 #

Coeficienții de egalizare găsim:

# (alfa + beta + gamma = 0), (alfabeta + betagamma + gammaalpha = -6), (alfabetagamma = -5)

Asa de #alpha, beta, gamma # sunt zerouri ale cubului:

# (X-alpha) (x-beta) (x-gamma) #

# = X ^ 3- (alfa + beta + gamma) x ^ 2 + (+ betagamma + alfa-beta gammaalpha) x-alphabetagamma #

# = X ^ 3-6x + 5 #

Rețineți că suma coeficienților acestui cub este #0#. Acesta este #1-6+5 = 0#.

prin urmare # X = 1 # este zero și # (X-1) # un factor:

# x ^ 3-6x + 5 = (x-1) (x ^ 2 + x-5) #

Zerourile celor patru cadre rămase pot fi găsite folosind formula patratică ca:

# x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2-4 (1) (- 5))) / (2 (1)

Asa de {a, beta, gamma} = {1, -1 / 2 + sqrt (21) / 2, -1 / 2-sqrt (21) / 2}

Asa de:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

(x2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 +) x + 2) #

Primă

Putem generaliza derivarea de mai sus?

# X ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 #

# = (X ^ 2 + alphax + q) (x ^ 2 + betax + q) (x ^ 2 + GAMMAX + q) #

# = X ^ 6 + (alfa + beta + gamma) x ^ 5 + (alfa-beta + betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 4 + (q (alfa + beta + gamma) + alphabetagamma) x ^ 3 + q (alfa-beta + betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 2 + q ^ 2 (alfa + beta + gamma) x + q ^ 3 #

Coeficienți de egalizare:

# {(alfa + beta + gamma = 0), (alfabeta + betagamma + gammaalpha = -3q), (alfabetagamma = p)

prin urmare #alpha, beta, gamma # sunt zerouri ale:

# X ^ 3-3qx-p #

Deci, dacă putem găsi trei zerouri reale ale acestui cub, atunci avem factorizarea factorului sexual # X ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 # în trei cvadratice cu coeficienți reali.