Cum găsiți puncte de inflexiune pentru y = sin x + cos x?

Răspuns:

Punctul de inflexiune sunt: # ((3pi) / 4 + 2kpi, 0) "AND" ((-pi / 2 + 2kpi, 0)

Explicaţie:

1 - Mai întâi trebuie să găsim al doilea derivat al funcției noastre.

2 - În al doilea rând, echivalăm acel derivat# ((D ^ 2y) / (dx ^ 2)) # la zero

# y = sinx + cosx #

# => (Dy) / (dx) = cosx-sinx #

# => (D ^ 2y) / (dx ^ 2) = - sinx-cosx #

Următor, # -Sinx-cosx = 0 #

# => Sinx + cosx = 0 #

Acum, vom exprima asta sub forma #Rcos (x + lamda) #

Unde # # Lambda este doar un unghi ascuțit și # R # este un întreg pozitiv care urmează să fie determinat. Asa

# Sinx + cosx = Rcos (x + lambda) #

# sinx + cosx = Rcosxcoslamda - sinxsinlamda #

Prin egalizarea coeficienților de # # Sinx și # # COSX pe fiecare parte a ecuației,

# => Rcoslamda = 1 #

și # Rsinlambda = -1 #

# (Rsinlambda) / (Rcoslambda) = (- 1) / 1 => tanlambda = -1 => lambda = tan ^ -1 (-1) = - pi / 4 #

Și # (Rcoslambda) ^ 2 + (Rsinlambda) ^ 2 = (1) ^ 2 + (- 1) ^ 2 #

# => R ^ 2 (cos ^ 2x + sin ^ 2 x) = 2 #

Dar știm identitatea, # cos ^ 2x + sin ^ 2 = 1 #

Prin urmare, # R ^ 2 (1) = 2 => R = sqrt (2) #

Pe scurt, # (D ^ 2y) / (dx ^ 2) = - sinx-cosx = sqrt (2) cos (x-pi / 4) = 0 #

# => Sqrt (2) cos (x-pi / 4) = 0 #

# => Cos (x-pi / 4) = 0 = cos (pi / 2) #

Deci, soluția generală a #X# este: # x-pi / 4 = + - pi / 2 + 2kpi #, # # KinZZ

# => X = pi / 4 + pi / 2 + 2kpi #

Astfel, punctele de inflexiune vor fi orice punct care are coordonate:

# (pi / 4 + -pi / 2 + 2kpi, sqrt (2) cos (pi / 4+ -pi / 2-pi /

Avem două situații de rezolvat, Cazul 1

# (pi / 4 + pi / 2 + 2kpi, sqrt (2) cos (pi /

# => ((3pi) / 4 + 2kpi, sqrt (2) cos (pi / 2)) #

# => ((3pi) / 4 + 2kpi, 0) #

Cazul 2

# (pi / 4-pi / 2 + 2kpi, sqrt (2) cos (pi /

# => (- pi / 2 + 2kpi, sqrt (2) cos (-pi / 2)

# => ((- pi / 2 + 2kpi, 0)) #

Arată cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Eu sunt un pic confuz dacă fac Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), va deveni negativ ca cos (180 ° -theta) al doilea cvadrant. Cum pot să dovedesc această întrebare?

Vedeți mai jos. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ ^ 2 ((4pi) / 10) + cos 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Cum găsiți integrarea definitivă pentru: e ^ sin (x) * cos (x) dx pentru intervalele [0, pi / 4]?

Utilizați o substituție u pentru a obține int_0 ^ (pi / 4) e ^ sinx * cosxdx = e ^ (sqrt (2) / 2) -1. Vom începe prin rezolvarea integralului nedeterminat și apoi vom rezolva limitele. În intex sinx * cosxdx, avem sinx și derivatul său, cosx. Prin urmare, putem folosi o substituție u. Fie u = sinx -> (du) / dx = cosx -> du = cosxdx. Pentru a obține rezultatul final: e ^ sinx Acum putem evalua acest lucru de la 0 la pi / 4: [e ^ sinx] _0 ^ ( pi / 4) = (e ^ sin (pi / 4) -e ^ 0) = e ^ (sqrt (2) / 2)

Cum găsiți numerele critice pentru cos (x / (x ^ 2 + 1)) pentru a determina valoarea maximă și minimă?

Deci, punctul critic este x = 0 y = cos (x / (x + 1)) Punct critic: Este punctul unde primul derivat zero sau nu există. Mai întâi găsiți derivatul, setați-l la 0, rezolvați pentru x. Și trebuie să verificăm dacă există o valoare de x care face primul derivat nedefinit. dy / dx = -sin (x / (x + 1)). d / dx = -sin (x / (x + 1)) (1 (x + 1) -x.1) / (x +1) ^ 2) Utilizați regula de produs a diferențierii. dy / dx = -sin (x / (x + 1)) ((1) / (x + 1) (X + 1)) = 0 sin (x / (x + 1)) = 0 rArr x / (x + 1) = 0 rArr , x = 0 Deci punctul critic este x = 0