Care este rădăcina pătrată de 82?

Răspuns:

# 10> sqrt82> 9 #, # sqrt82 ~~ 9.0554 #

Explicaţie:

# x_ "n + 1" = 1/2 (x_ "n" + S / x_ "n") -> sqrtS # pentru #n -> oo #

S este numărul căruia îi aproximați rădăcina lui sqaure. În acest caz # S = 82 #

Heres ceea ce înseamnă și modul în care este folosit:

Mai întâi, luați o estimare, care ar putea fi rădăcina pătrată din 82?

rădăcina pătrată a lui 81 este de 9, deci trebuie să fie cu mult mai mare decât 9 dreapta?

Credem că va fi #x_ "0" #, sa zicem 9.2, # x_ "0" = 9,2 #

Introducerea lui 9.2 în formulele "x" ne va da #x_ "0 + 1" = X_ "1" #

Acesta va fi următorul număr pe care l-am pus în ecuație. Acest lucru se datorează faptului că am început cu o estimare de 9.2 = #x_ "0" #, acest lucru ne-a dat un număr #x_ "1" #, introducerea acestui număr ne va da #x_ "2" #, care ne va da #x_ "3" # și așa mai departe, oferindu-ne întotdeauna numărul următor atunci când introducem precedentul. Partea dreaptă a ecuației indicată cu "#->#"înseamnă că atunci când" n "devine tot mai mare și mai mare, numărul se apropie și mai mult de rădăcina pătrată a S, în acest caz 82.

Să presupunem că am făcut același calcul de 100 de ori! Atunci am fi vrut #x_ "100" #. Acest număr ar fi foarte apropiat de rădăcina pătrată a S.

Vorbiți destul, să facem niște calcule reale!

Începem cu presupunerea noastră #x_ "0" = 9,2 #

# x_ "1" = 1/2 (9.2 + 82 / 9.2) ~ ~ 9.05652 #

Faceți același lucru cu noul număr: # x_ "2" = 1/2 (9.05652 + 82 / 9.05652) ~ ~ 9.05549 #

Să o facem ultima oară: # x_ "3" = 1/2 (9.05549 + 82 / 9.05546) ~ ~ 9.0554 #

Asta inseamna # Sqrt82 ~~ 9.0554 #

Și acolo aveți!

Îmi pare rău dacă toată discuția mea era enervantă. Am încercat să explic acest lucru în profunzime și într-un mod simplu, care este întotdeauna plăcut dacă nu sunteți foarte familiarizat cu un anumit domeniu în matematică. Nu văd de ce unii oameni trebuie să fie atât de prost atunci când explică matematica:)

Răspuns:

#sqrt (82) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …)))) ~~ 9.0553851381374 #

Explicaţie:

Factorizarea primară a #82# este:

#82 = 2*41#

Deoarece nu există factori patrați, #sqrt (82) # nu poate fi simplificată. Este un număr irațional puțin mai mare decât #9#.

Cu toate acestea, rețineți că #82=81+1 = 9^2+1#.

Deoarece acest lucru este de formă # N ^ 2 + 1 #, rădăcina pătrată are o formă foarte regulată ca o fracție continuă:

#sqrt (82) = 9; bar (18) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 /

Mai general:

(2n + 1 / (2n + …)))) # (2n + 1) = n;

În general, în continuare:

2n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + …)))

În orice caz, putem folosi fracția continuă pentru a obține aproximări raționale la #sqrt (82) # prin trunchiere.

De exemplu:

#sqrt (82) ~~ 9; 18 = 9 + 1/18 = 163/18 = 9,0bar (5)

#sqrt (82) ~~ 9,18,18 = 9 + 1 / (18 + 1/18) = 2943/325 = 9,05bar (538461)

#sqrt (82) ~~ 9,18,18,18 = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1/18)) = 53137/5868 ~~ 9.05538513974 #

Un calculator mi-a spus că:

#sqrt (82) ~~ 9.0553851381374 #

Deci, puteți vedea că aproximările noastre sunt corecte la aproape cât mai multe cifre semnificative ca numărul total de cifre din raport.