Care este integrarea lui (ln (xe ^ x)) / x?

Răspuns:

# Int # # x (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Explicaţie:

Ne este dat:

# Int # #ln (xe ^ x) / (x) dx #

Utilizarea #in (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = Int # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

Utilizarea #in (a ^ b) = mld (a) #:

# = Int # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

Utilizarea # n (e) = 1 #:

# = Int # # (ln (x) + x) / (x) dx #

Împărțirea fracțiunii (# x / x = 1 #):

# = Int # # (ln (x) / x + 1) dx #

Separarea integralelor sumate:

# = Int # #n (x) / xdx + int dx #

Al doilea integral este pur și simplu #x + C #, Unde # # C este o constantă arbitrară. Primul integral, pe care îl folosim # U #-substituţie:

Lăsa #u equiv ln (x) #, prin urmare #du = 1 / x dx #

Utilizarea # U #-substituţie:

# = int udu + x + C #

Integrarea (constanta arbitrară # # C poate absorbi constanta arbitrară a primului integral indefinit:

# = u ^ 2/2 + x + C #

Înlocuirea înapoi în termeni de #X#:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Răspuns:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Explicaţie:

Începem prin utilizarea următoarei identități logaritmice:

#ln (ab) = ln (a) + ln (b) #

Aplicând acest lucru la integral, obținem:

#int (ln (xe ^ x)) / x dx = int ln (x) / x + ln (e ^ x)

(x) / x + x / x dx = int ln (x) / x + 1 dx = int ln (x)

Pentru a evalua integralele rămase, vom folosi integrarea pe părți:

(x) f (x) g (x) dx = f (x)

voi permite #f (x) = ln (x) # și #G '(x) = 1 / x #. Putem apoi calcula că:

#f '(x) = 1 / x # și #G (x) = ln (x) #

Apoi putem aplica integrarea prin formula de piese pentru a obține:

#int ln (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int ln (x) / x

Deoarece avem integrala pe ambele laturi ale semnalului egal, putem rezolva aceasta ca o ecuatie:

# 2int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

#int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

Conectându-ne în expresia originală, primim răspunsul nostru final:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #