Se demonstrează: tan ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2) 1 + cosx) ^ 2)?

A dovedi

# Tg ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1+ cosx) ^ 2) #

RHS

# = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (1-sin ^ 2x) ^ 2) / (((1 + cosx ^ 2) - (1-cosx) ^ 2) / (1-cos ^ 2x) ^ 2) #

# = ((4sinx) / cos ^ 4x) / ((4cosx) / (sin ^ 4x)) #

# = sin ^ 5x / cos ^ 5x = tan ^ 5x = LHS #

Demonstrat

Aceasta este una dintre dovezile care este mai ușor de lucrat de la dreapta la stânga. Începe cu:

# ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

Se multiplică numărul și numitorul fracțiunilor încorporate prin "conjugate" (de ex. # # 1pmsinx pe # 1 sinx #). Ați obținut asta, de exemplu, # (1 + sinx) (1-sinx) = 1-sin ^ 2x #.

1 = sinx) / ((1-sin ^ 2)) (1-sinx) /) (((1 + cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1-cosx))) - ((1-cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1 + cosx))) #

Repetați pasul anterior pentru a simplifica mai mult numitorul în fracțiunile încorporate:

= ((1-sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2) (1 + cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) - ((1-cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) #

Utilizați identitățile # 1-sin ^ 2x = cos ^ 2x # și # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x # a obține:

= ((1 + sinx) ^ / (cos ^ 4x)) - ((1-sinx) ^ 2 /)) - ((1-cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x)) #

Combinați fracțiunile și flip pentru a multiplica reciprocalele:

= ((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x) 4x)) #

# ((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x)

Extindeți termenii pătrat:

= (anulează (1) + 2sinx + anula (sin ^ 2x) - (anulați (1) -2sinx +) + 2cosx + anula (cos ^ 2x) - (anula (1) -2cosx + anula (cos ^ 2x))) #

# = (anulați (4) sinx) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (anulați (4) cosx)

# = culoare (albastru) (tan ^ 5x) #