Rezolvați pentru x în RR ecuația sqrt (x + 3-4sqrt (x-1)) + sqrt (x + 8-6sqrt (x-1)) = 1?

Răspuns:

#x în 5, 10 #

Explicaţie:

Lăsa # u = x-1 #. Putem rescrie apoi partea stângă a ecuației ca

#sqrt (u + 4-4sqrt (u)) + sqrt (u + 9-6sqrt (u)) #

= sqrt ((sqrt (u) -2) ^ 2) + sqrt ((sqrt (u) -3) ^ 2) #

# = | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | #

Observați prezența #sqrt (u) # în ecuație și că căutăm numai valori reale, deci avem restricția #u> = 0 #. Cu aceasta, vom analiza acum toate cazurile rămase:

Cazul 1: # 0 <= u <= 4 #

# | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => 2-sqrt (u) + 3-sqrt (2) = 1 #

# => -2sqrt (u) = -4 #

# => sqrt (u) = 2 #

# => u = 4 #

Prin urmare # U = 4 # este singura soluție în interval #0, 4#

Cazul 2: # 4 <= u <= 9 #

# | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) -2 + 3 - sqrt (u) = 1 #

#=> 1=1#

Deoarece aceasta este o tautologie, fiecare valoare din #4, 9# este o soluție.

Cazul 3: #u> = 9 #

# | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# = sqrt (u) - 2 + sqrt (u) - 3 = 1 #

# => 2sqrt (u) = 6 #

# => sqrt (u) = 3 #

# => u = 9 #

Prin urmare #u = 9 # este singura soluție în interval # 9, oo) #

Luate împreună, avem #4, 9# ca soluție stabilită pentru valorile reale ale # U #. Înlocuirea în # x = u + 1 #, ajungem la setul final de soluții #x în 5, 10 #

Privind la graficul din stânga, acest lucru se potrivește cu ceea ce ne-am aștepta: