Care sunt asimptotele și găurile, dacă există, de f (x) = (x-1) / (x ^ 4-1)?

Răspuns:

#f (x) # are o asimptote verticale la # x = -1 #, o gaură la # X = 1 # și un asimptot orizontal # Y = 0 #. Nu are asimptote oblice.

Explicaţie:

#f (x) = (x-1) / (x ^ 4-1) #

(culoare (negru) ((x-1)))) / (culoare (roșu) (anulați (culoarea (negru))))) (x + 1) (x ^ 2 + 1)) #

#color (alb) (f (x)) = 1 / ((x + 1)

cu excludere = # ori -! 1 #

Rețineți că # x ^ 2 + 1> 0 # pentru toate valorile reale ale #X#

Cand # x = -1 # numitorul este zero și numărul este diferit de zero. Asa de #f (x) # are o asimptote verticale la # x = -1 #

Cand # X = 1 # atât numerotatorul cât și numitorul expresiei definitorii pentru #f (x) # sunt zero, dar expresia simplificată este bine definită și continuă la # X = 1 #. Deci, există o gaură la # X = 1 #.

La fel de #X -> + - oo # numitorul expresiei simplificate # -> oo #, în timp ce numărul este constant #1#. Prin urmare, funcția tinde să #0# și are un asimptot orizontal # Y = 0 #

#f (x) # nu are asimptote oblic (a.k.a. Pentru ca o funcție rațională să aibă o asimptotă oblică, numitorul trebuie să aibă un grad exact mai mare decât numitorul.

grafic {1 / ((x + 1) (x ^ 2 + 1)) -10, 10, -5, 5}