Rezolvare e ^ x-lnx <= e / x?

Răspuns:

astfel încât soluția acestei inegalități o face adevărată #x în (0,1 #

Explicaţie:

considera #f (x) = e ^ x-LNX-e / x #,noi avem

#f '(x) = e ^ x-1 / x + e / x ^ 2 #

argumentează acest lucru #f '(x)> 0 # pentru toate real x și încheie observând că #f (1) = 0 #

#f (1) = e-LN1-e = 0 #

ia în considerare limita f ca x merge la 0

#lim_ (xrarr0) e ^ x-LNX-e / x #

#lim_ (xrarr0 ^ +) e ^ x-LNX-e / x = -OO #

Cu alte cuvinte, arătând #f '(x)> 0 # arată că funcția este în creștere și dacă #f (1) = 0 # asta inseamna ca #f (x) <0 #

pentru #X <1 # deoarece funcția crește întotdeauna.

din definiția lui # # LNX

# # LNX este definit pentru fiecare #X> 0 #

din definiția lui # E ^ x #

# E ^ x # este definit pentru fiecare #X> = 0 #

dar # E / x = e / 0 # nedefinit

astfel încât soluția acestei inegalități o face adevărată #x în (0,1 #