Cum găsiți antiderivativul lui dx / (cos (x) - 1)?

Răspuns:

Faceți o multiplicare conjugată, aplicați un anumit trig și terminați pentru a obține un rezultat # Int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Explicaţie:

Ca și în cazul majorității problemelor de acest tip, o vom rezolva folosind un truc de multiplicare conjugat. Ori de câte ori aveți ceva împărțit de ceva plus / minus ceva (ca în # 1 / (cosx-1) #), este întotdeauna util să încercați multiplicarea conjugatului, în special cu funcțiile trig.

Vom începe prin înmulțirea # 1 / (cosx-1) # prin conjugatul lui # Cosx-1 #, care este # Cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

S-ar putea să te întrebi de ce facem asta. Este așa încât să putem aplica diferența de proprietăți pătrate, # (A-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #, în numitor, pentru ao simplifica puțin. Înapoi la problemă:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) #

# (Underbrace (cosx) -underbrace (1)) (underbrace (cosx) + underbrace1)) #

#color (alb) (III) acolor (alb) (XXX) bcolor (alb) (XXX) acolor (alb) (XXX) b #

Observați cum este esențial acest lucru # (A-b) (a + b) #.

# = (Cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

Acum, ce zici # cos ^ 2x-1 #? Știm # Păcat ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Să multiplicăm asta #-1# și vezi ce avem:

# -1 (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) -> - păcat ^ 2x = -1 + cos ^ 2x #

# = Cos ^ 2-1 #

Se pare că # -Sin ^ 2x = cos ^ 2x-1 #, asa ca sa inlocuim # cos ^ 2x-1 #:

# (Cosx + 1) / (- păcat ^ 2x #

Aceasta este echivalentă cu # Cosx / -sin ^ 2x + 1 / -sin ^ 2x #, care, folosind unele trig, se reduce la # -Cotxcscx-csc ^ 2x #.

În acest moment, am simplificat la integral # Int1 / (cosx-1) dx # la # Int-cotxcscx-csc ^ 2xdx #. Utilizând regula sumă, aceasta devine:

# Int-cotxcscxdx + int-csc ^ 2xdx #

Primul dintre acestea este # # Cscx (deoarece derivatul lui # # Cscx este # # -Cotxcscx) iar al doilea este # # Cotx (deoarece derivatul lui # # Cotx este # -Csc ^ 2x #). Adăugați în constanta integrării # # C și aveți soluția:

# Int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Cum găsiți antiderivativul lui (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

(e ^ x) + C "scrie" e ^ x "dx ca" d (e ^ x) ", ) "cu substituția y =" e ^ x ", obținem" int (d (y)) / (1 + y ^ 2) ", egal cu" arctan (y) + C " e ^ x: arctan (e ^ x) + C

Înălțimea lui Jack este de 2/3 din înălțimea lui Leslie. Înălțimea lui Leslie este de 3/4 din înălțimea lui Lindsay. Dacă Lindsay are o înălțime de 160 cm, găsiți înălțimea lui Jack și înălțimea lui Leslie?

Leslie's = 120cm și înălțimea lui Jack = 80cm Înălțimea lui Leslie = 3 / cancel4 ^ 1xxcancel160 ^ 40/1 = 120cm Înălțimea cricurilor = 2 / cancel3 ^ 1xxcancel120 ^ 40/1 = 80cm

Cum găsiți antiderivativul lui cos ^ 4 (x) dx?

Vrei să-l împărți folosind identități de tip trig pentru a obține integrale frumoase și ușoare. (x) = cos ^ 2 (x) Putem face cu cos ^ 2 (x) suficient de usor rearanjarea formulei cosinuse cu unghi dublu. cos (x) = 1/2 (1 + cos (2x)) * 1/2 (1 + cos (2x) 2 (2x)) cos ^ 4 (x) = 1/4 (1 + 2cos (2x) + 1/2 (1 + cos (4x)) cos ^ cos (2x) + 1/8 * cos (4x) Deci int cos cos ^ 4xxdx = 3/8 * int dx + 1 / ) dx int cos ^ 4 (x) dx = 3 / 8x + 1/4 * sin (2x) + 1/32 * sin