Cum găsiți antiderivativul lui (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

Răspuns:

#arctan (e ^ x) + C #

Explicaţie:

# "scrie" e ^ x "dx ca" d (e ^ x) ", atunci obținem"

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "cu substituția y =" e ^ x ", obținem" #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "care este egal cu" #

#arctan (y) + C #

# "Acum înlocuiți înapoi" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

Răspuns:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctan ^ x + "c" #

Explicaţie:

Vrem să găsim # Inte ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = int1 / (1+ (e ^ x) ^ 2) e ^ x "d" x #

Acum lasa # U = e ^ x # și luând diferența pe ambele părți dă # Du = e ^ XDX #. Acum înlocuim aceste două ecuații în integral pentru a obține

# Int1 / (1 + u ^ 2) "d" u #

Acesta este un integral standard care se evaluează # # Arctanu. Înlocuirea pentru #X# avem un răspuns final:

#arctan e ^ x + "c" #

Răspuns:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x)

Explicaţie:

În primul rând, l-am lăsat # U = 1 + e ^ (2x) #. Integrarea cu privire la # U #, divizăm prin derivatul din # U #, care este # 2e ^ (2x) #:

n ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / x * e ^ x * u) du = #

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du #

Integrarea cu privire la # U #, avem nevoie de tot ceea ce este exprimat în termeni de # U #, așa că trebuie să rezolvăm pentru ce # E ^ x # este în termeni de # U #:

# U = 1 + e ^ (2x) #

# E ^ (2x) = u-1 #

# 2x = ln (u-1) #

# X = 1 / 2ln (u-1) #

# X = ln ((u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #

# E ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1))) = sqrt (u-1) #

Acum, putem conecta acest lucru înapoi la integral:

= 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1/2int 1 / (sqrt (u-1)

Înainte vom introduce o înlocuire cu # Z = sqrt (u-1) #. Derivatul este:

# (Dz) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #

așa că am împărțit-o pe ea să se integreze cu respect # Z # (rețineți că împărțirea este aceeași ca înmulțirea prin reciprocitate):

(U-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1)

# = 2 / 2int 1 / u dz #

Acum, din nou, avem o variabilă greșită, deci trebuie să rezolvăm pentru ce # U # este egal cu în termeni de # Z #:

# Z = sqrt (u-1) #

# U-1 = z ^ 2 #

# U = z ^ 2 + 1 #

Asta da:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

Acesta este derivatul comun al lui # ^ -1 (z) # tan, deci primim:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

Anulați toate substituțiile, obținem:

# Tan ^ -1 (z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #

# = Tan ^ -1 (sqrt (1 + e ^ (2x) -1)) + C = tan ^ -1 ((e ^ (2x)) ^ (1/2)) + C = #

# = Tan ^ -1 (e ^ x) + C #