Care este formula generală pentru discriminantul unui polinom de gradul n?

Răspuns:

Vezi explicația …

Explicaţie:

Discriminant al unui polinom #f (x) # de grad # N # poate fi descrisă în termeni de determinant al matricei Sylvester din #f (x) # și #f '(x) # după cum urmează:

Dat:

(n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

Noi avem:

(n-1) x ^ (n-1) + (n-1) a_ (n-1)

Matricea Sylvester din #f (x) # și #f '(x) # este a # (2n-1) xx (2n-1) # matrice formate folosind coeficienții lor, similar cu exemplul următor pentru # N = 4 # …

(0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0) (4a_4, 3a3, 2a2, a_1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4,3a3, 2a2, a1, 0), 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

Apoi, discriminantul # # Delta este dată în termenii factorului determinant al matricei Sylvester prin formula:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

Pentru # N = 2 # noi avem:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1)) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(pe care le-ați putea găsi mai ușor de recunoscut în formă #Delta = b ^ 2-4ac #)

Pentru # N = 3 # noi avem:

#############################################, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a3, 2a2, a_1)) #

#color (alb) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

Discriminatorii pentru cvadratice (# N = 2 #) și cubi (# N = 3 #) sunt cele mai utile în faptul că vă spun exact câte zerouri complexe reale sau non-reale are un polinom.

Interpretarea discriminantului pentru polinoamele de ordine superioară este mai limitată, dar are întotdeauna proprietatea că polinomul a repetat zerouri dacă și numai dacă discriminantul este zero.

#culoare albă)()#

Citirea ulterioară

Vezi