Rescrieți ecuația într-un sistem x'y' rotit fără un termen x'y ". Pot obține ajutor? Mulțumiri!

Răspuns:

A doua selecție:

# X ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Explicaţie:

Ecuația dată

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1" #

este în forma carteziană generală pentru o secțiune conică:

# Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

Unde #A = 31, B = 10sqrt3, C = 21, D = 0, E = 0 și F = -144 #

Rotația de referință a axelor ne dă ecuații care ne permit să rotim o secțiune conică la un unghi specificat, # # Teta. De asemenea, ne dă o ecuație care ne permite să forțăm coeficientul #X y# pentru a deveni 0.

# Theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

Înlocuind valorile din ecuația 1:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

Simplifica:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (-sqrt3) #

#theta = -pi / 6 #

Utilizați ecuația (9.4.4b) pentru a verifica dacă rotația nouă determină coeficientul #X y# termenul să fie 0:

#B '= (A-C) păcat (2theta) + B cos (2theta) #

#B '= (31-21) sin (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)

#B '= 0 Larr # verificate.

Utilizați ecuația (9.4.4a) pentru a calcula #A'#:

# A '= (A + C) / 2 + (A - C) / 2 cos (2theta) - B / 2 sin (2theta)

#A '= (31 + 21) / 2 + (31-21) / 2 cos (2 (-pi / 6)

#A '= 36 #

Utilizați ecuația (9.4.4c) pentru a calcula # # C ':

# C '= (A + C) / 2 + (C-A) / 2 cos (2theta) + B /

# C '= (31 + 21) / 2 + (21-31) / 2 cos (2 (-pi / 6)) + (10sqrt3)

# C '= 16 #

Utilizați ecuația (9.4.4f) pentru a calcula # # F '

# F '= F #

#F '= -144 #

Acum, putem scrie formularul netratat:

# 36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0 #

Împărțiți ambele părți cu 144:

# x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

Adăugați 1 în ambele părți:

# X ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Răspuns:

Opțiunea B

Explicaţie:

Putem scrie ecuația în formă de matrice și apoi să o rotim pe axa sa principală.

Lăsa:

(b), (b, c) (x), (y) = Q #

# = (x, y) (ax + b y), (bx + cy) = Q #

# = ax ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q #

#implies a = 31, d = 5 sqrt3, c = 21, Q = 144 #

Și așa în formă matricială:

#bb x ^ T (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) bb x = 144 qquad pătrat #

Pentru a roti axele # # BBX de # # Teta:

#bb x ^ '= R (theta) bb x #

• #implies bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

transpunerea #bb x ^ '= Rbb x #:

#implies bb x ^ ('^ T) = (Rbbx) ^ T = bb x ^ T R ^ T #

#implies bb x ^ ('^ T) = bb x ^ T R ^ (- 1) #, deoarece R este ortogonal

• #implies bb x ^ ('^ T) R = bb x ^ T #

Punerea la dispoziție a ultimelor 2 rezultate #pătrat#:

#bb x ^ ('^ T) R (31,5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) R ^ (- 1) bb x ^

IOW dacă R este matricea pe care o diagonalizează M, atunci avem ecuația în ceea ce privește axele principale pentru matricea diagonală a vectorului propriu-zis D, și anume:

• #D = RMR ^ (- 1) #

M eigenvalues sunt 36 și 16, astfel încât pot fi diagonalizate ca:

#bb x ^ ('^ T) D bb x ^' = bb x ^ ('^ T) (36, 0), (0, 16)

# (x ', y') (9,0), (0,4) ((x '), (y')) = 36 #

# x ^ ('^ 2) / 4 + y ^ (' ^ 2) / 9 = 1 #