Răspuns:
# -Xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
Explicaţie:
Începeți prin utilizarea regulii sum pentru integrale și împărțirea acestora în două integrale separate:
# Intxe ^ (2-x) dx + int3x ^ 2DX #
Primul dintre aceste mini-integrale este rezolvat prin integrarea prin părți:
Lăsa # U = x -> (du) / dx = 1-> du = dx #
# = E ^ dv (2-x) dx-> intdv = inte ^ (2-x) dx-> v = -e ^ (2-x) #
Acum, folosind formula de integrare în părți # Intudv = uv-intvdu #, noi avem:
# Intxe ^ (2-x) dx = (x) (- e ^ (2-x)) - int (-e ^ (2-x)) dx #
# = - xe ^ (2-x) + inte ^ (2-x) dx #
# = - xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) #
Al doilea dintre acestea este un caz al regulii de putere inversă, care prevede:
# INTx ^ NDX = (x ^ (n + 1)) / (n + 1) #
Asa de # Int3x ^ 2DX = 3 ((x ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) = 3 (x ^ 3/3) = x ^ 3 #
Prin urmare, # Intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2DX = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + C # (nu uitați să adăugați constantă integrare!)
Ne este dată condiția inițială #f (0) = 1 #, asa de:
# 1 = - (0) e ^ (2- (0)) - e ^ (2- (0)) + (0) ^ 3 + C #
# 1 = -e ^ 2 + C #
# C = 1 + e ^ 2 #
Făcând această substituție finală, obținem soluția finală:
# Intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2DX = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
