Cum înmulți (4 + 6i) (3 + 7i) în formă trigonometrică?

Mai întâi trebuie să transformăm aceste două numere în forme trigonometrice.

Dacă # (A + ib) # este un număr complex, # U # este magnitudinea și #alfa# este unghiul său atunci # (A + ib) # în formă trigonometrică este scrisă ca #U (cosalpha + isinalpha) #.

Amplitudinea unui număr complex # (A + ib) # este dat de#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # și unghiul său este dat de # ^ -1 (b / a) # tan

Lăsa # R # să fie magnitudinea lui # (4 + 6i) # și # # Teta fie unghiul său.

Amploarea lui # (4 + 6i) = sqrt (4 ^ 2 + 6 ^ 2) = sqrt (16 + 36) = sqrt52 = 2sqrt13 = r #

Unghiul de # (4 + 6i) = ^ Tan -1 (6/4) = tan ^ -1 (3/2) = theta #

#implies (4 + 6i) = r (Costheta + isintheta) #

Lăsa # S # să fie magnitudinea lui # (3 + 7i) # și # # Phi fie unghiul său.

Amploarea lui # (3 + 7i) = sqrt (3 ^ 2 + 7 ^ 2) = sqrt (9 + 49) = sqrt58 = s #

Unghiul de # (3 + 7i) = ^ Tan -1 (7/3) = phi #

#implies (3 + 7i) = s (Cosphi + isinphi) #

Acum,

# (4 + 6i) (3 + 7i) #

# = R (Costheta + isintheta) * s (Cosphi + isinphi) #

# = Rs (costhetacosphi + isinthetacosphi + icosthetasinphi + i ^ 2sinthetasinphi) #

# = Rs (costhetacosphi-sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi + costhetasinphi) #

# = Rs (cos (theta + phi) + ISIN (theta + phi)) #

Aici avem toate lucrurile prezente, dar dacă aici substituie direct valorile, cuvântul ar fi dezordonat pentru a găsi #theta + phi # așa că mai întâi să aflăm # Theta + phi #.

# Theta + phi = tan ^ -1 (3/2) + tan ^ -1 (7/3) #

Noi stim aia:

# ^ -1 (a) + tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((a + b) / (1-ab)) # tan

#implies tan ^ -1 (3/2) + tan ^ -1 (7/3) = tan ^ -1 (((3/2) + (7/3)) / (1- 7/3))) = tan ^ -1 ((9 + 14) / (6-21)) #

# = Tan ^ -1 ((23) / (- 15)) = tan ^ -1 (-23/15) #

#implies theta + phi = tan ^ -1 (-23 / 15) #

#rs (cos (theta + phi) + ISIN (theta + phi)) #

# = 2sqrt13sqrt58 (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15)))

# = 2sqrt (754) (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15)

Acesta este răspunsul dvs. final.

Puteți să o faceți și printr-o altă metodă.

Prin multiplicarea în primul rând a numerelor complexe și apoi schimbarea lor în formă trigonometrică, ceea ce este mult mai ușor decât acesta.

# (4 + 6i) (3 + 7i) = 12 + 28i + 18i + 42i ^ 2 = 12 + 46I-42 = -30 + 46I #

Acum schimbați # -30 + 46I # în formă trigonometrică.

Amploarea lui # -30 + 46I = sqrt ((- 30) ^ 2 + (46) ^ 2) = sqrt (900 + 2116) = sqrt3016 = 2sqrt754 #

Unghiul de # -30 + 46I = tan ^ -1 (46 / -30) = tan ^ -1 (-23/15) #

#implies -30 + 46i = 2sqrt754 (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15)