Cum găsiți zona unei paralelograme cu vârfuri?

Răspuns:

Pentru paralelogramă # ABCD # zona este

(Y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A)

Explicaţie:

Să presupunem că paralelele noastre # ABCD # este definit de coordonatele celor patru noduri - # X_A, y_A #, # X_B, y_B #, # X_C, y_C #, # X_D, y_D #.

Pentru a determina zona paralelogramului nostru, avem nevoie de lungimea bazei sale # | AB | # și altitudinea # | DH | # de la vârf # D # la punctul # H # pe partea # # AB (acesta este, #DH_ | _AB #).

Mai întâi de toate, pentru a simplifica sarcina, hai să o mutăm într-o poziție atunci când vârful ei #A# coincide cu originea coordonatelor. Zona va fi aceeași, dar calculele vor fi mai ușoare.

Deci, vom efectua următoarea transformare a coordonatelor:

# U = x-x_A #

# V = y-y_A #

Apoi (# U, V #) coordonatele tuturor nodurilor vor fi:

#A U_A = 0, V_B = 0 #

#B U_B = x_B-x_A, V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A, V_C = y_C-y_A #

#D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A #

Paralelogramul nostru este acum definit de doi vectori:

# P = (U_B, V_B) # și # Q = (U_D, V_D) #

Determinați lungimea bazei # # AB ca lungime a vectorului # P #:

# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #

Lungimea altitudinii # | DH | # poate fi exprimată ca # | AD | * sin (/ _ BAD) #.

Lungimea #ANUNȚ# este lungimea vectorului # Q #:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Unghi #/_RĂU# poate fi determinată prin utilizarea a două expresii pentru produsul scalar (punct) al vectorilor # P # și # Q #:

# (P * q) = U_B * U_D + V_B * V_D = | p | * | q | * cos (/ _ BAD) #

de la care

# cos ^ 2 (/ _ BAD) = (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

# Păcat ^ 2 (/ _ BAD) = 1-cos ^ 2 (/ _ BAD) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) = #

# (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2)

Acum știm toate componentele pentru a calcula zona:

Baza # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) #:

Altitudine # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | U_A * V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2)

Zona este produsul lor:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

În ceea ce privește coordonatele originale, se arată astfel:

(Y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A)

Răspuns:

o altă discuție

Explicaţie:

Dovada geometrică

Luând în considerare cifra

se poate stabili cu ușurință formula pentru calcularea ariei unui paralelogram ABCD, atunci când sunt cunoscute orice trei vârfuri (de exemplu, A, B, D).

Deoarece diagonala BD bisectează paralelogramul în două triunghiuri congruente.

Zona de paralelogram ABCD

= 2 zona de triunghi ABD

= 2 zona trapezului BAPQ + zona de capcană BQRD - zona de capcană DAPR

=2# 1. / 2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR) QR-1/2 (AP + DR) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B)

=# Y_AX_B + anulați (Y_BX_B) -cancel (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + anulați (Y_DX_D) -cancel (Y_BX_B) -Y_AX_D-cancel (Y_DX_D) + anulați (Y_AX_A) + Y_DX_A #

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

Această formulă va prezenta zona paralelogramului.

Dovada luând în considerare vectorul

De asemenea, poate fi stabilită luând în considerare #vec (AB) # și# vec (AD) #

Acum

Vectorul de pozitie al punctului A w.r, t originea O, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

Vectorul de pozitie al punctului B w.r, t originea O, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

Vectorul de poziție al punctului D w.r, t originea O, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

Acum

Zona paralelogramei ABCD

# = Baza (AD) * înălțime (BE) = AD * h #

# = AD * ABsintheta = | VEC (AD) Xvec (AB) | #

Din nou

#vec (AD) = vec (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) hati + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (AB) = vec (OB) -vec (OA) = (X_B-X_A) hati + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (AD) #X#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

Zona = # | VEC (AD) #X#vec (AB) | #

=# Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + anulați (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-anulați (Y_AX_A) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

Astfel, avem aceeași formulă