Fie G un grup ciclic și G = 48. Cum găsești tot subgrupa lui G?

Răspuns:

Subgrupurile sunt toate ciclice, cu ordine împărțită #48#

Explicaţie:

Toate subgrupurile unui grup ciclic sunt ele însele ciclice, cu ordine care sunt divizoare ale ordinii grupului.

Pentru a vedea de ce, să presupunem # G = <a> # este ciclic cu ordine # N # și #H sube G # este un subgrup.

Dacă # a ^ m în H # și # a ^ n în H #, atunci este așa # A ^ (pm + qn) # pentru orice număr întreg #p, q #.

Asa de # a ^ k în H # Unde #k = GCF (m, n) # și ambele # A ^ m # și # A ^ n # sunt în # <a ^ k> #.

În special, dacă # a ^ k în H # cu #GCF (k, N) = 1 # atunci #H = <a> = G #.

De asemenea, nu că dacă #mn = N # atunci # <a ^ m> # este un subgrup de # G # cu ordine # N #.

Putem deduce:

• # H # are nu mai mult de #1# generator.
• Ordinea lui # H # este un factor de # N #.

În exemplul nostru #N = 48 # iar subgrupurile sunt izomorfe pentru:

# # C_1, # # C_2, # # C_3, # # C_4, # # C_6, # # C_8, # # C_12, # # C_16, # # C_24, # # C_48

fiind:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #