O minge este aruncată direct dintr-o înălțime de 12 picioare. La lovirea solului se întoarce la 1/3 din distanța pe care a căzut-o. Cât de departe va călători mingea (atât în sus, cât și în jos) înainte de a se odihni?

Răspuns:

Mingea va călători cu 24 de picioare.

Explicaţie:

Această problemă necesită luarea în considerare a seriilor infinite. Luați în considerare comportamentul real al mingii:

În primul rând mingea se încadrează la 12 metri.

Apoi mingea se învârte #12/3 = 4# picioare.

Mingea coboară apoi la 4 picioare.

La fiecare săritură succesivă, mingea se deplasează

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ n # picioare, unde # N # este numărul de bounces

Astfel, dacă ne imaginăm că mingea începe de la #n = 0 #, atunci răspunsul nostru poate fi obținut din seria geometrică:

# suma_ (n = 0) ^ infty 24/3 ^ n - 12 #

Rețineți #-12# termenul de corecție, pentru că dacă începem # N = 0 # numărăm o săritură de-a 0-a de 12 picioare în sus și cu 12 picioare în jos. În realitate, mingea doar călătorește jumătate din acest lucru, deoarece începe în aer.

Putem simplifica suma noastră pentru:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 #

Aceasta este doar o serie geometrică simplă, care urmează regulii care:

#l (n-> infty) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

Atata timp cat # | R | <1 #

Acest lucru oferă o soluție simplă pentru problema noastră:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3)

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# picioare.