Care sunt extremele locale ale f (x) = xlnx-xe ^ x?

Răspuns:

Această funcție nu are extreme extreme.

Explicaţie:

#f (x) = xlnx-xe ^ x implică #

#g (x) echiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

Pentru #X# a fi un extremum local, #G (x) # trebuie să fie zero. Vom arăta acum că acest lucru nu se produce pentru nici o valoare reală #X#.

Rețineți că

(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {'

Prin urmare ^ #G '(x) # va dispărea dacă

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

Aceasta este o ecuație transcendentală care poate fi rezolvată numeric. De cand #g ^ '(0) = + oo # și ^ #G '(1) = 1-3e <0 #, rădăcina se află între 0 și 1. De atunci #g ^ {''} (0) <0 # pentru toate pozitive #X#, aceasta este singura rădăcină și corespunde unui maxim pentru #G (x) #

Este destul de ușor să rezolvăm numeric această ecuație, iar asta arată că #G (x) # are o maxim la # X = 0.3152 # și valoarea maximă este #g (0,3152) = -1,957 #. Deoarece valoarea maximă a #G (x) # este negativ, nu există nici o valoare #X# la care #G (x) # dispare.

Poate fi instructiv să te uiți la asta grafic:

grafic {x log (x) -x e ^ x -0.105, 1, -1.175, 0.075}

După cum puteți vedea din graficul de mai sus, funcția #f (x) # are de fapt un maxim la # X = 0 # - dar acest lucru nu este un maxim local. Graficul de mai jos arată că #g (x) echiv f ^ '(x) # niciodată nu ia valoarea zero.

Graficul {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0,105, 1, -3, 0,075}