Care sunt extremele locale, dacă există, de f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x?

Răspuns:

Singurul extremum este # X = 0.90322 … #, o funcție minimă

Dar trebuie să rezolvați o ecuație cubică pentru a ajunge acolo și răspunsul nu este deloc "frumos" - sunteți sigur că întrebarea este corect introdusă? De asemenea, am inclus sugestii pentru a aborda răspunsul fără a intra în cantitatea de analiză prezentată în cele ce urmează.

Explicaţie:

1. Abordarea standard ne indică într-o direcție laborioasă

Calculați mai întâi derivatul:

#f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x #

astfel (prin reguli de lanț și de coeficient)

#f '(x) = 4 * 2 (4x-3) - (x- (x-4)) / x ^ 2 = 32x-24-4 / x ^ 2 #

Apoi setați această valoare egală cu 0 și rezolvați pentru #X#:

# 32x-24-4 / x ^ 2 = 0 #

# 32x ^ 3-24x ^ 2-4 = 0 #

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

Avem o ecuație cubică, care este rezolvată de radicali, dar acest lucru este departe de a fi un proces ușor. Știm că această ecuație va avea, în general, trei rădăcini, dar nu că toate vor fi reale, deși cel puțin una dintre ele va fi - că cel puțin unul va fi cunoscut din Teorema Valorii Intermediare - http: // en. wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem - care ne spune că, deoarece funcția merge la infinit la un capăt și minus infinit la cealaltă, atunci trebuie să ia toate valorile între ele într-un punct sau altul.

Testarea câtorva valori simple (1 este adesea o valoare informativă și rapidă de încercat), vedem că există o rădăcină undeva între 1/2 și 1, dar nu găsim soluții evidente pentru a simplifica ecuația. Rezolvarea unei ecuatii cubice este un proces lung si obositor (pe care il vom face mai jos), asa ca merita sa incercam sa ne informam cu privire la intuitia noastra inainte de a face acest lucru. Soluțiile de triaj mai departe, vom constata că acestea sunt între 0,9 și 0,91.

2. Rezolvați o problemă simplificată

Funcția constă în diferența a doi termeni, # F_1 (x) = (4x-3) ^ 2 # și # F_2 (x) = (x-4) / x #. Pentru o mare parte din gama #X#, primul dintre acestea va domina foarte mult, deoarece al doilea termen va fi aproape de 1 pentru toate valorile lui #X# departe de valori mici. Să ne întrebăm cum se comportă cei doi termeni individuali.

Primul termen, # # F_1

# F_1 (x) = (4x-3) ^ 2 #

# F_1 ^ '(x) = 4 * 2 (4x-3) = 8 (4x-3) #

Setați acest lucru la zero: # X = 3/4 #. Aceasta este în regiunea zero a funcției pe care am găsit-o, dar nu este foarte aproape de ea.

#f (1) # este o parabolă în #X#, una care atinge #X# axa la # X = 3/4 #. Derivatul său este o linie dreaptă abruptă de gradient 32 care traversează axa x în același punct.

Al doilea mandat, # # F_2

# F_2 (x) = (x-4) / x = 1-4 / x #

# F_2 ^ '(x) = 4 / x ^ 2 #

Setați acest lucru la zero: nu există soluții în #X#. Asa de # # F_2 nu are nici o extrema ca o funcție pe cont propriu. Are totuși un punct la care se aruncă spre infinit: # X = 0 #. Se duce la infinitul pozitiv, pe măsură ce se apropie de 0 de partea negativă și de infinitul negativ pe măsură ce se apropie de 0 de partea pozitivă. Departe de acest punct, curba tinde spre valoarea 1 pe ambele părți. # # F_2 este o hiperbola centrată pe # (X, y) = (0,1) #. Derivatul său este o curbă în două bucăți, pentru negativ și pozitiv #X#. Se duce la infinitul pozitiv din ambele direcții # X = 0 # și este întotdeauna pozitivă.

Rețineți că # F_1 ^ '(x) <0 # pentru toți #X <0 #. Nu pot exista intersecții de # F_1 ^ '# și # F_2 ^ '# pe negativ #X# axă. Peste pozitiv #X# axa trebuie să fie exact o intersecție - o curbă merge de la mai puțin de 0 la infinit ca #X# face același lucru în timp ce celălalt merge de la infinit la 0. Prin aplicarea unei teoreme de valoare intermediară (vezi mai sus), trebuie să treacă exact o dată.

Deci, acum suntem siguri că doar căutăm o soluție, dar nu avem un răspuns bun pentru aceasta.

3. Aproximați numeric răspunsul

În situațiile profesionale care necesită rezolvarea unor astfel de probleme, adesea cea mai rapidă cale de a ajunge acolo unde trebuie să obțineți este să efectuați o aproximare numerică. Unul destul de bun pentru găsirea rădăcinilor unei funcții este metoda Newton-Raphson (http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method).

Care este: a găsi o rădăcină a unei funcții # F #, mai întâi face o presupunere # # X_0 la o rădăcină, apoi iterați rotund și rotund conform acestei formule:

# X_1 = x_0-f (x_0) / (f '(x_0)) #

# # X_1 este o mai bună estimare decât # # X_0, iar unul doar repetă acest lucru până la atingerea preciziei dorite.

Amintiți-vă funcția și derivatele acesteia:

#f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x #

#f '(x) = 8 (4x-3) -4 / x ^ 2 #

Așa că am putea ghici 0,5 ca rădăcina noastră, făcând # X_0 = 0.5 #, #f (x_0) = 8 #, #f '(x_0) = - 24 #. Prin urmare # F_1 = + 0,5 8/24 = 0,5 +: 1/3 = 0.8333 …. #, într-adevăr un răspuns mai atent. Repetarea ne duce la valoarea de aproximativ 0,9 menționată mai sus.

Așadar, putem găsi răspunsul cu precizie arbitrară, dar răspunsul complet necesită o soluție analitică, ceea ce am remarcat mai sus ar fi greu. Deci, aici mergem …

4. Rezolvați întreaga problemă, încet și dureros

Acum, să facem soluția completă cubică (va trebui să iubești algebra pentru a rezolva aceasta în mod corespunzător):

Mai întâi, împărțiți-vă pentru a face ca termenul de conducere să aibă coeficientul 1:

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

# x ^ 3-3 / 4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

În al doilea rând, efectuați următoarea substituire a variabilei # Y # pentru a elimina # X ^ 2 # termen:

Substitui # X = y + 1/4 #. Mai general, pentru o ecuație a formei # Ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 #, cineva ar înlocui # X = y-b / (3a) #. Dacă lucrați prin algebră, veți vedea că aceasta întotdeauna cauzează # X ^ 2 # termenul să dispară. În acest caz, obținem:

# x ^ 3 -3 / 4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

# (y + 1/4) ^ 3 -3/4 (y + 1/4) ^ 2 - 1/8 = 0 #

(Extindeți parantezele, amintiți-vă de teorema binomică:

# y ^ 3 + 3/4 y ^ 2 + 3/16 y + 1 / 64-3 / 4 y ^ 2-3 / 8y-3 / 64-1 /

(Observați că cele două # Y ^ 2 # termenii anulează exact)

# Y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

Acum avem acelasi numar de termeni ca si noi, pentru ca nu am avut in prealabil niciunul # Y # termen. Pierderea # Y ^ 2 # termenul este un profit matematic, promisiune!

În al treilea rând, faceți o altă substituție (înlocuirea lui Vieta: http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html) pentru a transforma acest lucru într-un patrat:

Substitui # Y = w + 1 / (16w) #. Mai general, pentru o ecuație a formei # Y ^ 3 + py = q #, această substituție este # Y = w-p / (3w) #.

# Y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

# (W + 1 / (16w)) ^ 3-3 / 16 (w + 1 / (16w)) = 5/32 #

# W ^ 3 + 3 / 16w + 3 / (256w) + 1 / (4096w ^ 3) -3 / 16w-3 / 256w = 5/32 #

(Observați că amândouă # W # și # 1 / w # termenii anulează exact)

# W ^ 3 + 1 / (4096w ^ 3) = 5/32 #

# W ^ 6-5 / 32W ^ 3 + 1/4096 = 0 #

(Acum, ar fi bine să întrebați ce este pe pământ beneficiul acestui lucru - am învățat cu ecuația noastră de gradul 3 până când avem o ecuație de gradul 6, cu siguranță o pierdere … Dar acum ne putem gândi la ea ca la o ecuație patratică în # W ^ 3 #, și putem rezolva ecuații patratice …)

În al patrulea rând, rezolva ecuația patratică pentru # W ^ 3 #

# W ^ 6-5 / 32W ^ 3 + 1/4096 = 0 #

# (W ^ 3) ^ 2-5 / 32 (w ^ 3) + 1/4096 = 0 #

Utilizând ecuația patratică:

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (25 / 1024-1 / 1024)) / 2 #

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (24/1024)) / 2 = (5/32 + -sqrt (24) / 32)

# w ^ 3 = (5 + -sqrt (24)) / 64 = (5 + -2sqrt (6)

Avem un răspuns! Acum, trebuie doar să ne referim la variabila originală #X#.

În al cincilea rând, convertiți-vă la termenii originali

# w ^ 3 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

Luați rădăcina cubului:

#w = (5 + -2sqrt (6) / 64 ^ (1/3) #

#w = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Amintiți-vă cum am raportat # Y # la # W # mai devreme: # Y = w + 1 / (16w) #

#Y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 + 1 / (4 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

Acum # 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) * (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / ((5 + -2sqrt (6)) (- 5 + -2sqrt (6)) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 25 + 4 * 6 ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 1) = - - 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3) #

(Socratic nu pare să ofere un plus minus-plus al plus-minus, așa că trebuie să îl scriem în felul acesta)

Prin urmare

#Y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 - (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Dacă înmulțim semnele minus în cel de-al doilea termen mare, putem vedea că obținem două expresii identice, astfel încât să putem renunța la semnalele plus / minus patrate și să le simplificăm

# Y = 1/4 alineatul (5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) #

În cele din urmă (!) Amintesc că am stabilit # X = y + 1/4 #.

Prin urmare

# X = (1+ 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

În al șaselea rând, deduce cât de multe dintre aceste rădăcini sunt reale

Cele două expresii din rădăcinile cubului au fiecare o rădăcină reală și două rădăcini imaginare conjugate. Un număr real #A# are trei rădăcini cubice # A ^ (1/3) #, # A ^ (1/3) (1/2 + isqrt (3) / 2) #,# A ^ (1/3) (1/2-isqrt (3) / 2) #. Acum știm că ambele expresii din interiorul rădăcinilor cubului sunt pozitive (nota # 5 = sqrt (25)> sqrt (24) = 2sqrt (6) #), și deci componentele imaginare din a doua și a treia valoare pentru #X# nu poate sume la zero.

Concluzie

Prin urmare, există doar o singură rădăcină reală #X# (așa cum am concluzionat mult mai sus printr-o analiză mai simplă) și deci o singură extremă locală pe curba pe care o întrebați, dată de expresia

# X = (1+ 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

sau, în zecimal

# X = 0.90322 … #

Putem deduce că acesta este un minim al funcției prin faptul că există doar un extremum, iar funcția tinde spre infinit pozitiv la ambele capete.