Care este derivatul lui f (x) = (log_6 (x)) ^ 2?

Metoda 1:

Vom începe prin utilizarea regulii de schimbare de bază pentru rescriere #f (x) # echivalent cu:

#f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 #

Noi stim aia # d / dx ln x = 1 / x #.

(dacă această identitate pare necunoscută, verificați câteva dintre videoclipurile de pe această pagină pentru explicații suplimentare)

Deci, vom aplica regula lanțului:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx ln x / ln 6 #

Derivatul lui #in x / 6 # va fi # 1 / (xln6) #:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln6) #

Simplificarea ne oferă:

#f '(x) = (2nx) / (x (ln6) ^ 2) #

Metoda 2:

Primul lucru pe care trebuie să-l observăm este acela numai # d / dx ln (x) = 1 / x # Unde #ln = log_e #. Cu alte cuvinte, numai dacă baza este # E #.

Prin urmare, trebuie să convertim # # Log_6 la o expresie care are numai #log_e = ln #. Acest lucru facem folosind acest fapt

#log_a b = (log_ {n} b) / (log_ {n} a) = (ln b) / ln a # cand # N = e #

Acum lasa # z = (ln x / ln 6) # astfel încât #f (x) = z ^ 2 #

Prin urmare, (d / dz z ^ 2) (dz / dx) = 2z d / dx (ln x / ln 6) #f (x) = d /

# = (2z) / (ln6) d / dx ln x = (2z) / (ln6) 1 / x #

= (2 / ln 6) (ln x / ln 6) (1 / x) = (2nnx) / (x * (ln6) ^ 2)