Avem x @ y = ax + ay-xy, x, y în RR și a este un parametru real. Valorile lui a pentru care [0,1] este parte stabilă a (RR, @)?

Răspuns:

#a în 1/2, 1 # sau # a = 1 # dacă vrem #@# pentru a cartografia # 0, 1 xx 0, 1 # pe #0, 1#.

Explicaţie:

Dat:

# x @ y = ax + ay-xy #

Dacă înțeleg corect întrebarea, vrem să determinăm valorile #A# pentru care:

# x, y în 0, 1 rarr x @ y în 0, 1 #

Găsim:

# 1 @ 1 = 2a-1 în 0, 1 #

prin urmare #a în 1/2, 1 #

Rețineți că:

# del / (del x) x @ y = a-y "" # și # "" del / (del y) x @ y = a-x #

Prin urmare, valorile maxime și / sau minime ale #X y# cand #x, y în 0, 1 # va apărea când # x, y în {0, a, 1} #

Presupune #a în 1/2, 1 #

Găsim:

# 0 @ 0 = 0 în 0, 1 #

# 0 @ a = a @ 0 = a ^ 2 în 0, 1 #

# 0 1 = 1 0 = a în 0, 1 #

# a @ a = a ^ 2 în 0, 1 #

#a @ 1 = 1 @ a = a ^ 2 în 0, 1 #

# 1 @ 1 = 2a-1 în 0, 1 #

Deci condiția dată este atât necesară, cât și suficientă.

În plus, dacă vrem #X y# pentru a fi pe #0, 1# atunci ne cerem # A = 1 #.