Cum ai integra integra int1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx?

Răspuns:

Acest integral nu există.

Explicaţie:

De cand #ln x> 0 # în intervalul respectiv # 1, e #, noi avem

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

aici, astfel încât integralele devin

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

Substitui #ln x = u #, atunci # dx / x = du # astfel încât

# int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du}

Acesta este un integru necorespunzător, deoarece integrand se diferențiază la limita inferioară. Acesta este definit ca

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

dacă există. Acum

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l #

deoarece aceasta diferă în limita #l -> 0 ^ + #, integramentul nu există.

Răspuns:

# Pi / 2 #

Explicaţie:

Integralul # Int_1 ^ e ("d" x) / (xsqrt (1-ln ^ 2 (x)) #.

Înlocuiți mai întâi # U = ln (x) # și # "D" u = ("d" x) / x #.

Astfel, avem

#int_ (x = 1) ^ (x = e) ("d" u) / sqrt (1-u ^ 2) #

Acum, înlocuiți-vă # U = sin (v) # și # "D" u = cos (v) "d" v #.

Atunci, (x = e) (cos (v)) / (sqrt (1-sin ^ 2 (v)))) "d" v # de cand # 1-sin ^ 2 (v) = cos ^ 2 (v) #.

Continuând, avem

# V _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (u) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (x)) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (e)) - arcsin (ln (1)) = pi / 2-0 = pi / 2 #