Cum se rezolvă ecuația diferențială separabilă și se găsește soluția particulară care satisface condiția inițială y (-4) = 3?

Răspuns:

Soluție generală: #color (roșu) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1)

Soluție specifică: #color (albastru) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Explicaţie:

Din ecuația diferențială dată #Y '(x) = sqrt (4y (x) +13) #

ia notă, asta # y '(x) = dy / dx # și #Y (x) = y #, prin urmare

# Dy / dx = sqrt (4y + 13) #

împărțiți ambele părți prin #sqrt (4y + 13) #

# Dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = sqrt (4y + 13) / sqrt (4y + 13) #

# Dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = 1 #

Multiplicați ambele părți prin # # Dx

# Dx * dy / dx (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

#cancel (dx) * dy / anula (dx) (1 / sqrt (4y + 13)) = dx * 1 #

# Dy / sqrt (4y + 13) = dx #

transpune # # Dx în partea stângă

# Dy / sqrt (4y + 13) -dx = 0 #

integrând ambele părți, avem următoarele rezultate

#int dy / sqrt (4y + 13) -int dx = int 0 #

# 1/4 * int (4y + 13) ^ (- 1/2) * 4 * dy-int dx = int 0 #

# 1/4 * (4y + 13) ^ (- 1/2 + 1) / ((1-1 / 2)) - x = C_0 #

# O jumătate * (4y + 13) ^ (1/2) -x = C_0 #

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = 2 * C_0 #

#color (roșu) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1)Soluție generală

Dar #Y (-4) = 3 # înseamnă când # x = -4 #, # Y = 3 #

Acum putem rezolva # # C_1 pentru a rezolva soluția specială

# (4y + 13) ^ (1/2) -2x = C_1 #

# (4 (3) +13) ^ (1/2) -2 (-4) = C_1 #

# C_1 = 13 #

Prin urmare, soluția noastră particulară este

#color (albastru) ((4y + 13) ^ (1/2) -2x = 13) #

Dumnezeu să binecuvânteze … Sper că explicația este utilă.

Răspuns:

# Y = x ^ 2 + 13x + 36 #, cu #Y> = - 13/4 #.

Explicaţie:

#Y> = - 13/4 #, a face #sqrt (4y + 13) # real..

rearanjarea, #X '(y) = 1 / sqrt (4y + 13) #

Asa de, # x = int 1 / sqrt (4y + 13) dy #

# = (4/2) sqrt (4y + 13) + C #

Utilizarea #y = 3, atunci când x = -4, C = -13 / 2 #

Asa de. # x = (1/2) (sqrt (4y + 13) - 13) #

Invers. #y = (1/4) ((2x + 13) ^ 2 - 13) = x ^ 2 + 13x + 36 #