Care dintre urmãtoarele indicã numãrul maxim de rădăcini reale?

Răspuns:

# x ^ 2-3 abs (x) + 2 = 0 # cu #4# rădăcini reale.

Explicaţie:

Rețineți că rădăcinile:

# ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 #

sunt un subset al unificării rădăcinilor celor două ecuații:

# (ax ^ 2 + bx + c = 0), (ax ^ 2-bx + c = 0)

Rețineți că, dacă una dintre aceste două ecuații are o pereche de rădăcini reale, atunci și ea o face pe cealaltă, deoarece au aceleași diferențe:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-b) ^ 2-4ac #

Mai mult, rețineți că dacă # a, b, c # toate au același semn atunci # ax ^ 2 + b abs (x) + c # va lua întotdeauna valori ale acelui semn când #X# e real. Deci, în exemplele noastre, de atunci # A = 1 #, putem observa imediat că:

# x ^ 2 + 3 abs (x) + 2> = 2 #

deci nu are nici un zer.

Să aruncăm o privire la celelalte trei ecuații:

1) # x ^ 2-abs (x) -2 = 0 #

(X + 2) (x + 1) = = x în {-1, 2}), (0 = x ^ 2 + x-2 = +2) (x-1) => x în {-2, 1}):} #

Încercând fiecare dintre acestea, găsim soluții #x în {-2, 2} #

3) # x ^ 2-3 abs (x) + 2 = 0 #

(X-2) = = x în {1, 2}), (0 = x ^ 2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) => x în {-1, -2}):

Încercând fiecare dintre acestea, găsim că toate sunt soluții ale ecuației originale, adică #x în {-2, -1, 1, 2} #

Metodă alternativă

Rețineți că rădăcinile reale din # ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 # (Unde #c! = 0 #) sunt rădăcini reale pozitive din # ax ^ 2 + bx + c = 0 #.

Deci, pentru a afla care dintre ecuațiile date are cele mai reale rădăcini este echivalentă cu a afla care dintre ecuațiile patratice ordinare corespunzătoare are cele mai pozitive rădăcini pozitive.

O ecuație patratică cu două rădăcini reale pozitive are semne în model #+ - +# sau #- + -#. În exemplul nostru, primul semn este întotdeauna pozitiv.

Dintre exemplele date, doar al doilea și al treilea au coeficienți în model #+ - +#.

Putem renunța la a doua ecuație # x ^ 2-2 abs (x) + 3 = 0 # deoarece discriminantul său este negativ, dar pentru cea de-a treia ecuație găsim:

# 0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) #

are două rădăcini pozitive reale, dăunând #4# rădăcinile ecuației # x ^ 2-3 abs (x) + 2 = 0 #

Care sunt valorile integrale ale k pentru care ecuația (k-2) x ^ 2 + 8x + (k + 4) = 0) are ambele rădăcini reale, distincte și negative?

Pentru ca radacinile sa fie reale, distincte si eventual negative, Delta> 0 Delta = b ^ 2-4ac Delta = 8 ^ 2-4 (k-2) (k + 4) Delta = kk2 + 2k-8) Delta = 64-4k ^ 2-8k + 32 Delta = 96-4k ^ 2-8k Din Delta> 0, 96-4k ^ 2-8k> 0 (4k + 24) (k-4) <0 4 (k + 6) (k-4) 5]} Din graficul de mai sus, putem observa că ecuația este adevărată numai atunci când -6 <k <4 Prin urmare, numai numerele întregi între -6 <k <4 pot fi rădăcini negative, distincte și reale

Care este numărul de rădăcini reale ale ecuației de distribuire?

Răspunsul este 2. Folosind regulile de semne ale lui Descartes, descoperim că există fie două sau zero rădăcini pozitive, dar și rădăcini negative zero. Prin urmare, deoarece ecuația dată este de gradul șase și trebuie să aibă șase rădăcini, cel puțin patru dintre rădăcini sunt imaginare. Faceți clic pe link pentru o explicație completă a regulii lui Descartes.

Arata ca daca p, q, r, s sunt numere reale si pr = 2 (q + s), atunci la cel putin una din ecuatiile x ^ 2 + px + q = 0 si x ^ 2 + rx + s = 0 reale rădăcini?

Vedeți mai jos. Distribuitorul x 2 + px + q = 0 este Delta_1 = p ^ 2-4q iar cel al lui x ^ 2 + rx + s = 0 este Delta_2 = r ^ 2-4s și Delta_1 + Delta_2 = (r + s) = (p + r) ^ 2-2 [pr + r] -2 (q + s)] și dacă pr = 2 (q + s) avem Delta_1 + Delta_2 = (p + r) ^ 2 Suma celor două discriminanți este pozitivă, prin urmare, atleast una din ecuațiile x ^ 2 + px + q = 0 și x ^ 2 + rx + s = 0 are rădăcini reale.