Arata ca daca p, q, r, s sunt numere reale si pr = 2 (q + s), atunci la cel putin una din ecuatiile x ^ 2 + px + q = 0 si x ^ 2 + rx + s = 0 reale rădăcini?

Răspuns:

Vedeți mai jos.

Discriminant # X ^ 2 + px + q = 0 # este # Delta_1 = p ^ 2-4q #

și cea a lui # X ^ 2 + rx + s = 0 # este # Delta_2 = r ^ 2-4s #

și # Delta_1 + Delta_2 = p ^ r ^ 2-4q + 2-4s #

= # P ^ 2 + r ^ 2-4 (q + s) #

= # (P + r) ^ 2-2pr-4 (q + s) #

= # (P + r) ^ 2-2 pr-2 (q + s) #

si daca # Pr = 2 (q + s) #, noi avem # Delta_1 + Delta_2 = (p + r) ^ 2 #

Cum suma dintre cei doi diferiți este pozitivă, cel puțin unul dintre ele ar fi pozitiv

și, prin urmare, atleast una dintre ecuații # X ^ 2 + px + q = 0 # și # X ^ 2 + rx + s = 0 # are rădăcini reale.