Cum găsiți volumul solidului generat prin rotirea regiunii delimitată de curbele y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2) rotite în jurul y = 4?

Răspuns:

# V = 685 / 32pi # unități cubice

Explicaţie:

Mai întâi, schițați graficele.

# Y_1 = x ^ 2 x #

# Y_2 = 3-x ^ 2 #

#X#-intercepta

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # Și noi avem asta # {(X = 0), (x = 1):} #

Deci interceptele sunt #(0,0)# și #(1,0)#

Obțineți vârful:

# Y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 #

Deci vârful este la #(1/2,-1/4)#

Repetați anterior:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # Și noi avem asta # {(X = sqrt (3)), (x = -sqrt (3)):} #

Deci interceptele sunt # (Sqrt (3), 0) # și # (- sqrt (3), 0) #

# Y_2 = 3 x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

Deci vârful este la #(0,3)#

Rezultat:

Cum se obține volumul? Vom folosi disc!

Această metodă este pur și simplu: # "Volume" = piint_a ^ de ^ 2DX #

Ideea este simplă, totuși trebuie să o folosiți inteligent.

Și asta vom face noi.

Să sunăm volumul nostru # V #

# => V = V_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ b (4-y_1) ^ 2DX #

# V_2 = piint_a ^ b (4-y_2) ^ 2DX #

NB: iau # (4-y) # deoarece # Y # este doar distanța de la #X#- la curbă, în timp ce dorim distanța de la linie # Y = 4 # la curba!

Acum pentru a găsi #A# și # B #, ne echivalăm # # Y_1 și # # Y_2 și apoi rezolva pentru #X#

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

# => (2x-3) (x + 1) = 0 => {(x = 3/2 = 1,5), (x = -1):} #

De cand #A# vine înainte de # B #, # => A = -1 # și # B = 1,5 #

V = = piint _ (- 1) ^ (1.5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1.5 (4-x ^ x ^ 2 + x-4) ^ 2DX #

# => Piint (-1) ^ (1,5) (x ^ 4 + 3x ^ 3-7x ^ 2-8x + 16) dx = pi x ^ 5/5 + x ^ 4 / 2- (7x ^ 3) /3-4x^2+16x_-1^1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

Faceți același lucru pentru # # V_2:

(1 + x-4) ^ 2 = piint_-1 ^ 1,5 (4-y2) ^ 2dx = piint_1 ^ 1,5 (4-3 + 2DX #

# => Piint (-1) ^ (1,5) (1 + 2x ^ 2 + x ^ 4) dx = pi x + (2x ^ 3) / 3 + x ^ 5/5 _- 1 ^ 1.5 #

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = V_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = culoare (albastru) ((685pi) / 32) #