Fie RR un număr de numere reale. Găsiți toate funcțiile f: RR-> RR, satisfăcător abs (f (x) - f (y)) = 2 abs (x-y) pentru toate x, y aparține RR.

Răspuns:

#f (x) = pm 2 x + C_0 #

Explicaţie:

Dacă #abs (f (x) -f (y)) = 2abs (x-y) # atunci #f (x) # este Lipschitz continuu. Deci, funcția #f (x) # este ușor de diferențiat. Apoi, urmând, #abs (f (x) -f (y)) / (abs (x-y)) = 2 # sau

#abs ((f (x) -f (y)) / (x-y)) = 2 # acum

#lim_ (x-> y) abs ((f (x) -f (y)) / (xy)) = abs (lim_ (x-> y) (f (x) -f (y)) / (xy)) = abs (f '(y)) = 2 #

asa de

#f (x) = pm 2 x + C_0 #