Q.1 Dacă alfa, beta sunt rădăcinile ecuației x ^ 2-2x + 3 = 0, obțineți ecuația ale cărei rădăcini sunt alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 5 alfa -2 și beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5?

# # Î.1 Dacă # Alfa, beta # sunt rădăcinile ecuației # X ^ 2-2x + 3 = 0 # obțineți ecuația care are rădăcini # alfa ^ 3 alfa ^ 2 + 5 alfa-2 # și # Beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5 #?

Răspuns

ecuația dată # X ^ 2-2x + 3 = 0 #

# => X = (2pmsqrt (2 ^ 2-4 * 1 * 3)) / 2 = 1pmsqrt2i #

Lăsa # alpha = 1 + sqrt2i și beta = 1-sqrt2i #

Acum lasa

# gamma = alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 5 alfa-2 #

# => gamma = alfa ^ 3-3 alfa ^ 2 + 3 alfa-1 + 2alpha-1 #

# => = Gamma (alfa-1) ^ 3 + alfa-1 + alfa #

# => Gamma = (sqrt2i) ^ 3 + sqrt2i + 1 + sqrt2i #

# => Gamma = -2sqrt2i + sqrt2i + 1 + sqrt2i = 1 #

Si lasa

# Delta = beta ^ 3-beta ^ 2 + beta + 5 #

# => Delta = beta ^ 2 (beta-1) + beta + 5 #

# => Delta = (1-sqrt2i) ^ 2 (-sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #

# => Delta = (- 1-2sqrt2i) (- sqrt2i) + 1-sqrt2i + 5 #

# => Delta = sqrt2i-4 + 1-sqrt2i + 5 = 2 #

Deci ecuația patratică are rădăcini #gamma și delta # este

# X ^ 2- (gamma + delta) x + gammadelta = 0 #

# => X ^ 2 (1 + 2) x + 1 * 2 = 0 #

# => X ^ 2-3x + 2 = 0 #

# # Q.2 Dacă o rădăcină a ecuației # Ax ^ 2 + bx + c = 0 # să fie pătratul celuilalt, Dovedește asta # B ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3abc #

Să fie o rădăcină #alfa# atunci o altă rădăcină va fi # Alfa ^ 2 #

Asa de # Alfa ^ 2 + alpha = -b / a #

și

# Alfa ^ 3 = c / a #

# => Alfa ^ 3-1 = c / a-1 #

# => (Alfa-1) (alfa ^ 2 + alfa + 1) = c / a-1 = (c-a) / a #

# => (Alfa-1) (- b / a + 1) = (c-a) / a #

# => (Alfa-1) ((a-b) / a) = (c-a) / a #

# => (Alfa-1) = (c-a) / (a-b) #

# => Alpha = (c-a) / (a-b) + 1 = (c-b) / (a-b) #

Acum #alpha # fiind una dintre rădăcinile ecuației patrate # Ax ^ 2 + bx + c = 0 # putem scrie

# Aalfa ^ 2 + balpha + c = 0 #

# => A ((c-b) / (a-b)) ^ 2 + b ((c-b) / (a-b)) + c = 0 #

# => A (c-b) ^ 2 + b (c-b) (a-b) + c (a-b) ^ 2 = 0 #

# => Ac ^ 2-2abc + ab ^ 2 + abc-ab ^ 2-b ^ 2c + b ^ 3 + ca ^ 2-2abc + b ^ 2c = 0 #

# => B ^ 3 + a ^ 2c + ac ^ 2 = 3abc #

demonstrat

Alternativă

# Aalfa ^ 2 + balpha + c = 0 #

# => Aalfa + b + c / alfa = 0 #

# => A (c / a) ^ (1/3) + b + c / ((c / a) ^ (1/3)) = 0 #

# => C ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3) = - b #

# => (C ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3)) ^ 3 = (- b) ^ 3 #

# => (C ^ (1/3) a ^ (2/3)) ^ 3+ (c ^ (2/3) a ^ (1/3)) ^ 3 + 3c ^ (1/3) a ^ (2/3) xxc ^ (2/3) a ^ (1/3) (c ^ (1/3) a ^ (2/3) + c ^ (2/3) a ^ (1/3)) = (- b) ^ 3 #

# => Ca ^ 2 + c ^ 2a + 3ca (-b) = (- b) ^ 3 #

# => B ^ 3 + ca ^ 2 + c ^ 2a = 3abc #