Un triunghi isoscel are laturile A, B și C, laturile B și C fiind egale în lungime. Dacă partea A merge de la (1, 4) la (5, 1) și zona triunghiului este de 15, care sunt posibilele coordonate ale celui de-al treilea colț al triunghiului?

Răspuns:

Cele două vârfuri formează o bază de lungime 5, deci altitudinea trebuie să fie 6 pentru a obține zona 15. Piciorul este punctul central al punctelor și șase unități în direcție perpendiculară dau # (33/5, 73/10)# sau #(- 3/5, - 23/10) #.

Explicaţie:

Sfat pentru Pro: încercați să respectați convenția literelor mici pentru laturile triunghiului și capitalele pentru vârfurile triunghiului.

Ne sunt date două puncte și o zonă a unui triunghi isoscel. Cele două puncte fac baza, # B = sqrt {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5. #

Piciorul # F # altitudinii este punctul central al celor două puncte, # F = ((1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) #

Vectorul de direcție dintre puncte este #(1-5, 4-1)=(-4,3)# cu magnitudinea 5 așa cum am calculat. Obținem vectorul de direcție al perpendicularului prin schimbarea punctelor și negarea uneia dintre ele: #(3,4)# care trebuie să aibă și magnitudinea cinci.

Din zona # A = frac 1 2 b h = 15 # primim # H = (2 * 15) /b=6.#

Așa că trebuie să ne mișcăm #6# unități de la # F # fie în direcția perpendiculară pentru a obține cel de-al treilea vertex pe care l-am sunat # # C:

C = F pm 6 frac {(3,4)} {5} = (3,52) 6/5 (3,4)

# C = (33/5, 73/10) sau C = (- 3/5, - 23/10) #

Verifica: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

Zona semnată este apoi jumătate din produsul încrucișat

# A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = -15 quad sqrt {

Acesta este sfârșitul, dar să generalizăm răspunsul puțin. Să uităm că este isoscele. Dacă avem C (x, y), suprafața este dată de formula shoelace:

# A = frac 1 2 | (1) (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-y = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

Zona este #15#:

# pm 15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

# 19 pm 30 = 3x + 4y #

# 49 = 3x + 4y # sau # -11 = 3x + 4y #

Deci, dacă vârful C se află pe oricare dintre aceste două linii paralele, vom avea un triunghi cu aria 15.

Lăsa # PR = A # să fie partea triunghiului isoscel având coordonatele punctelor sale finale după cum urmează

#Pto (1,4) # și #Rto (5,1) #

Fie coordonatele celui de-al treilea punct al triunghiului #(X y)#.

La fel de #(X y)# este echidistant de la P și R pe care le putem scrie

# (X-1) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

# => X ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-8y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-2y + 1 #

# => 8x-6y = 9 #

# => X = (9 + 6y) / 8 …… 1 #

Din nou #(X y)# fiind echidistant față de P și R, perpendicularul a scăzut de la #(X y)# la #RELATII CU PUBLICUL# trebuie să bisect it, Lăsați acest picior de la punctul perpendicular sau mijlocul #RELATII CU PUBLICUL# fi # T #

Deci, coordonatele #Tto (3,2.5) #

Acum înălțimea triunghiului isoscel

# H = sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2) #

Și baza triunghiului isoscel

# PR = A = sqrt ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2) = 5 #

Prin urmare, prin problema zona ei

# 1 / 2xxAxxH = 15 #

# => H = 30 / A = 30/5 = 6 #

= 6 # #sqrt (^ 2 + (y-2,5) ^ 2 (x-3))

# => (X-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2 = 36 …. 2 #

Prin 2 și 1 ajungem

# ((9 + 6y) / 8-3) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6y-15) ^ 2 + (y-2,5) ^ 2 = 36 #

# => (6y-15) ^ 2 + 64 (y-2,5) ^ 2 = 36xx64 #

# => 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y 400 = 48 + ^ 2 #

# => 100y ^ 2-500y 625 = + 48 ^ 2 #

# => Y ^ 2-5y + 6,25 = 4,8 ^ 2 #

# => (Y-2,5) ^ 2 = 4,8 ^ 2 #

# => Y = 2.5pm4.8 #

Asa de # y = 7,3 și y = -2,3 #

cand # Y = 7,3 #

# X = (9 + 6xx7.3) /8=6.6#

cand # Y = -2.3 #

# X = (9 + 6xx (-2.3)) / 8 = -0.6 #

Deci, coordonatele celui de-al treilea punct vor fi

# (6.6,7.3) la "Q în figura" #

SAU

# (- 0,6, -2,3) la "S în figura" #