Vrei să mă ajuți? int_0 ^ (pi / 2) (e ^ (2x) * sinx) dx

Răspuns:

# = (2e ^ (pi) +1) / 5 #

Explicaţie:

acest lucru necesită integrarea prin părți, după cum urmează. Limitele vor fi omise până la sfârșitul anului

#int (e ^ (2x) sinx) dx #

#color (roșu) (I = Intu (dv) / (dx) dx) = uv-INTV (du) / (dv) dx #

# U = e ^ (2x) => du = 2e ^ (2x) dx #

# (Dv) / (dx) = sinx => v = -cosx #

#color (roșu) (I) = - e ^ (2x) cosx + int2e ^ (2x) cosxdx #

cel de-al doilea integral se face, de asemenea, prin părți

# U = 2e ^ (2x) => du = 4e ^ (2x) dx #

# (Dv) / (dx) = cosx => v = sinx #

#color (roșu) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-int4e ^ (2x) sinxdx #

#color (roșu) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-4color (roșu) (I) #

#:. 5I = e ^ (2x) (2sinx-cosx) #

# I = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 #

acum puneți limitele în

#Tocmai = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 _0 ^ (pi / 2) #

# = (E ^ pi ((2sin (pi / 2) -cos (pi / 2))) / 5) - (e ^ (0) (sin0-cos0) / 5) #

# 1 / 5e ^ pi 2-0 +1 / 5 -0 + 1 #

# = (2e ^ (pi) +1) / 5 #

Răspuns:

# {2e ^ pi + 1} / 5 #

Explicaţie:

În timp ce răspunsul deja furnizat este perfect, am vrut doar să subliniez o modalitate mai ușoară de a ajunge la același răspuns utilizând o abordare puțin mai avansată - prin numere complexe.

Începem cu faimoasa relație

# e ^ {ix} = cos (x) + i sin (x) #

Unde # I = sqrt {-1} #, și rețineți că acest lucru înseamnă că

(x) = Im (e ^ {ix}) implică e ^ {2x} sin (x) = Im (e ^ {(2 + i}

Unde #Sunt# denotă partea imaginară.

Asa de

(x) dx = Im (int_0 ^ {pi / 2} e ^ {(2 + i) x} dx)

= Im (e ^ {(2 + i) x} / {2 + i} {0 ^ {pi / 2}) = Im ({ i}) #

# = Im ({i ^ pi -1} / {2 + i} ori {2-i} / {2-i}) = 1/5 Im (#

# = 1/5 ((1) ori (-1) + e ^ pi ori 2) = {2e ^ pi + 1}